第 二 节函数的单调性与最值 考纲解读 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值． 考向预测 1．函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质，在每年高考中均有重要体现． 2．求单调区间、判断单调性、求最值及利用它们求参数的取值范围是热点． 知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1< x2 时， ①若 ，则 f(x)在 上是增函数； ②若 ，则 f(x)在 上是减函数． f(x1)f(x2) 区间 D (2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是 或 ，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做 f(x)的单调区间． 增函数 减函数 区间 D 2．函数的最值 (1)设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M，满足： ①对于任意的 x∈I，都有 ； ②存在 x0∈I，使得 . 则称 M 是 f(x)的最大值． f(x)≤M f(x0) ＝ M (2)设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M，满足： ①对于任意的 x∈I，都有 ； ②存在 x0∈I，使得 . 则称 M 是 f(x)的最小值． f(x)≥M f(x0)＝M 3．判断函数单调性的方法 (1)定义法：利用定义严格判断． (2)利用函数的运算性质：如若 f(x)、g(x)为增函数，则 ①f(x)＋g(x)为增函数； ② 1fx为减函数(f(x)>0 )； ③ fx为增函数(f(x)≥0)； ④f(x)·g(x)为增函数(f(x)> 0，g(x)>0)； ⑤－f(x)为减函数． (3 )利用复合函数关系判断单调性． 法则是“ ”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为 ，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为 (4 )图像法． (5)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有 的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有 的单调性． 同增异减 增函数 减函数． 相同 相反 (6)导数法 ①若 f(x)在某个区间内可导，当 f′(x)> 0 时，f(x)为 函数；当 f′(x)< 0 时，f(x)为 函数； ②若 f(x)在某个区间内可导，当 f(x)在该区间上递增时，则f′(x) 0；当 f(x)在该区间上递减时，则 f′(x) 0. 增 减 ≥ ≤ 4．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域为 . (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是当 a>0 时，值域为 ；当 a<0 时，值域为 . (3)y＝kx(...
