第 二 节函数的单调性与最值 考纲解读 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值. 考向预测 1.函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质,在每年高考中均有重要体现. 2.求单调区间、判断单调性、求最值及利用它们求参数的取值范围是热点. 知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1< x2 时, ①若 ,则 f(x)在 上是增函数; ②若 ,则 f(x)在 上是减函数. f(x1)f(x2) 区间 D (2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是 或 ,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 叫做 f(x)的单调区间. 增函数 减函数 区间 D 2.函数的最值 (1)设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M,满足: ①对于任意的 x∈I,都有 ; ②存在 x0∈I,使得 . 则称 M 是 f(x)的最大值. f(x)≤M f(x0) = M (2)设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M,满足: ①对于任意的 x∈I,都有 ; ②存在 x0∈I,使得 . 则称 M 是 f(x)的最小值. f(x)≥M f(x0)=M 3.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断. (2)利用函数的运算性质:如若 f(x)、g(x)为增函数,则 ①f(x)+g(x)为增函数; ② 1fx为减函数(f(x)>0 ); ③ fx为增函数(f(x)≥0); ④f(x)·g(x)为增函数(f(x)> 0,g(x)>0); ⑤-f(x)为减函数. (3 )利用复合函数关系判断单调性. 法则是“ ”,即两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为 ,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为 (4 )图像法. (5)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有 的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有 的单调性. 同增异减 增函数 减函数. 相同 相反 (6)导数法 ①若 f(x)在某个区间内可导,当 f′(x)> 0 时,f(x)为 函数;当 f′(x)< 0 时,f(x)为 函数; ②若 f(x)在某个区间内可导,当 f(x)在该区间上递增时,则f′(x) 0;当 f(x)在该区间上递减时,则 f′(x) 0. 增 减 ≥ ≤ 4.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域为 . (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是当 a>0 时,值域为 ;当 a<0 时,值域为 . (3)y=kx(...