本章优化总结知识体系网络专题探究精讲专题一专题一 数列的通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方法，其本质就是函数的解析式．围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势和规律，而且有利于求数列的前 n 项和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现将求数列的通项公式的几种常见题型及方法总结如下： 1．观察法 就是根据数列的前几项的变化规律，观察归纳出数列的通项公式． 例例 11根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)12，34，78，1516，3132，…； (2)－12，34，－58， 716，－ 932，…； (3)3,33,333,3333，…； (4)1,3,6,10,15，…. 【分析】 用观察法．【解】 (1)不难看出，各项的分母是 2 的 n 次幂，分子比分母小 1，∴an＝2n－12n . (2)观察数列的前 5 项发现如下规律：分子 1,3,5,7,9，与序号的关系是序号的 2 倍减 1，即 2n－1；分母2,4,8,16,32，与序号的关系是 2 的序号次幂，即 2n，而各项的符号变化为负，正，负，正，…，与序号的关系是(－1)n.所以数列的一个通项公式是 an＝(－1)n·2n－12n. (3)an＝39(10n－1)＝13(10n－1)． (4)an＝12n(n＋1)． 【点评】 通过观察数列前 n 项的规律，给出数列的一个通项公式．2 ．公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是从第二项起先分析每一项与前一项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前 n 项和，且 S23＝9S2，S4＝4S2，求数列{an}的通项公式． 例例 22【分析】 代入公式求 a1和 d. 【解】 设等差数列{an}的公差为 d. 由 Sn＝na1＋nn－12d 及已知条件，得 (3a1＋3d)2＝9(2a1＋d)，① 4a1＋6d＝4(2a1＋d)．② 由②得 d＝2a1，代入①得 a21＝49a1. 解得 a1＝0 或 a1＝49. 【点评】 准确应用公式，计算出首项和公差，然后写出通项公式，要求计算准确．当 a1＝0 时，d＝0，舍去． 因此 a1＝49，d＝89. 故数列{an}的通项公式为 an＝49＋(n－1)·89＝49(2n－1)． 3．由递推关系式求通项公式 由递推关系式求通项公式的方法主要有累加法、累乘法和构造新数列法． (1)累加法：对于由形如 an＋1－an＝f(n)的递推公式求通项公式． ①当 f(n)＝d 为常数时，为等差数列，则 an＝a1＋(n－1)d. ②当 f(n)为 n 的函数时，用累...
