3.1.3 导数的几何意义【课标要求】 1．理解导函数的概念；理解导数的几何意义． 2．会求导函数． 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 【核心扫描】 1．求曲线上某点处的切线方程．(重点) 2．导数的几何意义的综合应用．(重难点) 自学导引 1．导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率 设函数 y＝f(x)的图象如图所示，AB 是过点 A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一 条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝ f（x0＋Δx）－f（x0）Δx ． 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的极限位置为直线 AD，这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 处的切线．于是，当Δx→0 时，割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A 的切线 AD的斜率 k，即 k＝ ＝ f（x0＋Δx）－f（x0）Δx . f′(x0) (2)导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线 y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ． 斜率 f′(x0) y － f(x0) ＝ f′(x0)(x － x0) 想一想：导数的物理意义是什么？ 提示 如果把函数 y＝f(x)看作是物体的运动方程(也称位移公式，自变量 x 表示时间)，那么导数 f′(x0)表示运动物体在时刻x0 的速度，即在 x＝x0 时的瞬时速度，即 vx0＝f′(x0)＝lim ΔyΔx. 2．导函数的概念 当 x＝x0 时，f′(x0)是一个确定的数，当 x 变化时，f′(x)是 x 的一个函数，我们称 f′(x)是 f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作 y′，即 f′(x)＝y′＝lim f（x＋Δx）－f（x）Δx． 想一想：f′(x0)与 f′(x)的区别是什么？ 提示 f′(x)是函数 f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与 x0，Δx 无关；f′(x0)表示的是函数 f(x)在 x＝x0 处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及 x0 的位置有关，而与Δx 无关． 名师点睛 1．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率 k，即 k＝f′(x0)＝lim f（x0＋Δx）－f（x0）Δx. 注意：(1)若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与 x 轴垂直． (2)显然 f′(x0)>0，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)<0，切线的倾斜角为钝角；f′(x0)＝...
