高中数学 第三章 推理与证明 综合法典例导航课件 北师大版选修1-2 课件VIP专享VIP免费

在△ABC 中，三边 a，b，c 成等比数列． 求证：acos2C2＋ccos2A2≥32b. [证明过程] 左边＝a1＋cosC2＋c1＋cosA2 ＝12(a＋c)＋12(acosC＋ccosA) ＝12(a＋c)＋12a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc ＝12(a＋c)＋12b≥ ac＋b2 ＝b＋b2＝32b＝右边， ∴acos2C2＋ccos2A2≥32b. 1. 在△ ABC 中，三角形内角 A 、 B 、 C 对应的边分别为 a 、b 、 c ，且 A 、 B 、 C 成等差数列， a 、 b 、 c 成等比数列，求证：△ ABC 为等边三角形．证明： 由 A 、 B 、 C 成等差数列，有 2B ＝ A ＋ C ，因为 A 、 B 、 C 为△ ABC 内角，所以 A ＋ B ＋ C ＝ π ，所以 B ＝ .由 a 、 b 、 c 成等比数列，有 b2＝ ac ，由余弦定理及 b2＝ ac ，可得： b2＝ a2＋ c2－ 2accosB ＝a2＋ c2－ ac ，∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0， 因此 a＝c，从而有 A＝C. ∴A＝B＝C＝π3，所以△ABC 为正三角形． (2011·高考安徽，19)(1)设 x≥1，y≥1，证明 x＋y＋ 1xy≤1x＋1y＋xy； (2)设 1＜a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. 证明： (1) 由于 x≥1 ， y≥1 ，所以x ＋ y ＋≤＋＋ xy⇔xy(x ＋ y) ＋ 1≤y ＋ x ＋ (xy)2.将上式中的右式减左式，得[y ＋ x ＋ (xy)2] － [xy(x ＋ y) ＋ 1] ＝ [(xy)2－ 1] － [xy(x ＋y) － (x ＋ y)] ＝ (xy ＋ 1)(xy － 1) － (x ＋ y)(xy － 1) ＝ (xy － 1)(xy － x － y ＋ 1) ＝ (xy － 1)(x － 1)(y － 1) ．由于 x≥1 ， y≥1 ，所以 (xy － 1)(x － 1)(y － 1)≥0 ，从而所要证明的不等式成立．(2)设 logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得 logca＝ 1xy，logba＝1x，logcb＝1y，logac＝xy. 于是，所要证明的不等式即为 x＋y＋ 1xy≤1x＋1y＋xy， 又由于 1