第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2.4 三角恒等变换的应用学习目标1. 掌握倍角公式、两角和与差的三角公式的综合应用 .2. 掌握半角的正弦、余弦、正切公式及其应用 .3. 掌握积化和差、和差化积公式及其应用 .4. 了解万能公式及其应用 .重点：倍角公式、两角和与差的三角公式、半角公式、积化和差与和差化积公式 .难点：半角公式正负号的选择、积化和差与和差化积公式以及万能公式的识记 .知识梳理一、半角公式及其推导 尝试与发现你能利用倍角公式 C2α 推导出以下公式吗？ Sin2 ＝， cos2 ＝， tan2 ＝ .提示：事实上，由 C2α 可得 cosα ＝＝ 1-2sin2 ，因此 2sin2 ＝ 1-cosα ，即 Sin2 ＝ . ①类似地，因为 cosα ＝＝ 2cos2 ，所以有 2cos2 ＝ 1+cosα ，即 cos2 ＝ . ②① ② 两个等式左边、右边分别相除，即可得 tan2 ＝ . ③一般地，①②③可以变形为,,,其中根号前的正负号，由角所在象限确定 .一般称这 3 个公式为半角公式 .1. 半角公式中根号前符号的一般处理方法：（ 1 ）若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负符号；（ 2 ）若给出角 α 的具体范围（即某一区间），则先求角所在范围，然后根据角所在范围确定符号；（ 3 ）若给出的角 α 是某一象限的角时，则根据下表决定符号：【名师点拨】α第一象限第二象限第三象限第四象限第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限sincostan2. 对于和， α∈R ，但是使用时，要保证 α≠ （ 2k+1 ） π （ k∈Z ） .tan 2＝sin1 cos， tan 2＝1 cossin. 拓展：半角正切公式的有理表达式：证明：（方法一）222sincos2sincossin2222tan.1 cos212cos12cos22 2211 2sin2sin1 cos22tan.sin22sincos2sincos2222 （方法二） tan 2＝sin 2cos 2 ＝2sin2cos222cos 2＝sin1 cos. tan 2＝sin 2cos 2 ＝sin2sin222sincos22＝1 cossin. 这两个公式不用判断符号，更好用！二、积化和差、和差化积公式及其推导尝试与发现 : 如果已知 cos （ α-β ）＝， cos （ α+β ）＝，你能求出以及的值吗？提示：因为 cos （ α+β ）＝ cosαcosβsinαsinβ ，cos （ αβ ）＝ cosαcosβ+sinαsinβ ，所以两式分别相...
