直线与圆相切 【例 1 】在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 x－ 3y＝4 相切． (1)求圆 O 的方程； (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点，圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA→·PB→的取值范围． 【解析】(1)依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x－ 3y＝4 的距离，即 r＝41＋3＝2，所以圆 O 的方程为 x2＋y2＝4. (2)不妨设 A(x1,0)，B(x2,0)，且 x11 ， b>1.(1) 若圆与直线 AB 相切时，求线段 AB 的中点的轨迹方程；(2) 若圆与直线 AB 相切，且△ AOB 面积最小时，求直线 AB 的方程及△ AOB 面积的最小值． 222222(1)(1)11,11.1(11)2211|1||2|22112211xyCrxyABababABababababab 圆的方程化为 －＋ －＝ ，则圆心，半径 ＝直线所在的直线方程为＝，．因为圆与直线相切，所以【析】＝解，2222222(2)24()422210.()22210(11)abababababab aba bababABM xyaxbyABxyxyxy所以 ＋ ＝ ＋ －＝ ＋ ＋－＋ ＋，所以＋－－ ＝设线段的中点坐标为， ，则 ＝ ， ＝ ，代入上式得线段的中点的轨迹方程为 ＋ －－ ＝，． 22212242()410(11)2232 2()2222222 0.1 2232 2.22ababababababababABxyAOBab因为＋ ＝＋，即－＋，，所以＝，当且仅当 ＝ ＝时，等号成立．所以直线的方程为 ＋ － －＝面积的最小值为＝ ＋直线和圆的方程的综合应用 【例 2 】已知圆 C ： x2 ＋ y2 ＋ 2x ＋ ay ＋ 1 ＝ 0 ，过定点 P(0,1) 作斜率为 1 的直线交圆 C 于 A 、 B 两点， P ...
