第 66 讲 椭圆 【学习目标】 1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． 2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 【基础检测】 1．已知椭圆x225＋y29＝1，F1、F2 分别为其左、右焦点，椭圆上一点 M 到 F1 的距离是 2，N 是 MF1 的中点，则|ON|的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由题意及椭圆的定义知，|MF2|＝10－|MF1|＝8，ON 是△MF1F2 的中位线，所以|ON|＝12|MF2|＝4. D 2．若点 O 和点 F 分别为椭圆x24 ＋y23＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP→ ·FP→ 的最大值为( ) A．2 B．3 C．6 D．8 【解析】由椭圆方程得 F(－1，0)，设 P(x0，y0)，则OP→ ·FP→＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x02＋x0＋y02. P 为椭圆上一点，∴x024 ＋y023 ＝1.∴OP→ ·FP→＝x02＋x0＋31－x024＝x024 ＋x0＋3＝14(x0＋2)2＋2. －2≤x0≤2，∴OP→ ·FP→的最大值在 x0＝2 时取得，且最大值等于 6. C 3．以坐标轴为对称轴，离心率为 32 ，且过点(2，0)的椭圆方程是( ) A.x24 ＋y2＝1 B.x216＋y24＝1 或y24＋x2＝1 C．x2＋y24＝1 D.x24 ＋y2＝1 或y216＋x24 ＝1 【解析】方法一：设椭圆方程x2m2＋y2n2＝1(m>0，n>0)． 由椭圆过点(2，0)得 4m2＝1， ∴m2＝4. ∴椭圆方程为x24 ＋y2n2＝1. D ①当 n>2 时， e＝ n2－4n＝1－ 4n2＝ 32 ， 解得 n2＝16. ∴椭圆方程为x24 ＋y216＝1. ②当 n<2 时， e＝ 4－n22＝1－n24 ＝ 32 . 解得 n2＝1. ∴椭圆方程为x24 ＋y2＝1. 方法二：把(2，0)代入 x2＋y24＝1 不成立，故排除 B，C，对于椭圆y216＋x24 ＝1，过点(2，0)，且离心率 e＝ 16－44＝ 124＝ 32 ，适合题意，故排除 A. 4．已知点 F1，F2 分别是椭圆 x2k＋2＋ y2k＋1＝1(k＞－1)的左、右焦点，弦 AB 过点 F1，若△ABF2 的周长为 8，则椭圆的离心率为______． 【解析】由椭圆定义有 4a＝8，a＝2，所以 k＋2＝a2＝4，∴k＝2，从而 b2＝k＋1＝3，c2＝a2－b2＝1，所以 e＝ca＝12. 12【知识要点】 1．椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 F1，F2 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程 (1) ______________ (a>b>0)...
