§2.5 对数与对数函数 基础知识 自主学习 要点梳理 1．对数的概念 (1)对数的定义 如果 ax＝N(a>0 且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数，叫做真数． x＝logaN aN (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a(a>0 且 a≠1) 常用对数 底数为 自然对数 底数为 logaN lg N ln N 10e 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ ；②logaMN＝ ； ③logaMn＝ (n∈R)；④ ＝ . (2)对数的性质 ① ＝ ；②logaaN＝ (a>0 且 a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式： (a，b 均大于零且不等于 1)； ②logab＝1logba，推广 logab·logbc·logcd＝ . logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM nmlogaM N N logbN=logaNlogab logad na MmlogNaalog 3．对数函数的图象与性质 a>1 0
1 时， 当01 时， 当00 y<0 y<0 y>0 增函数 减函数 4.反函数 指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax 互为反函数，它 们的图象关于直线 对称． y＝x [难点正本 疑点清源] 1．关于对数的底数和真数 从对数的实质看：如果 ab＝N(a>0 且 a≠1)，那么 b叫做以 a 为底 N 的对数，即 b＝logaN.它是知道底数和幂求指数的过程．底数 a 从定义中已知其大于 0且不等于 1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于 0 的． 2．对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于 0 的，所以对数函数 y＝logax 的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 01 进行分类讨论． 3．关于对数值的大小比较 (1)化同底后利用函数的单调性； (2)作差或作商法； (3)利用中间量(0 或 1)； (4)化同真数后利用图象比较． 基础自测 1．写出下列各式的值： (1)log26－log23＝________；(2)lg 5＋lg 20＝________； (3)log53＋log513＝______；(4)log35－log315＝________. 解析 (1)log26－log23＝log263＝1； (2)lg 5＋lg 20＝lg 100＝2； (3)log53＋log513＝log51＝0； (4)log35...
