1.3.3导数的实际应用类型一 平面几何中的最值问题【典例】 1. 如图 , 某工厂拟建一座平面图为矩形 , 且面积为 200 m2 的三级污水处理池 , 由于地形限制 , 长、宽都不能超过 16 m, 如果池外周壁建造单价为每米 400元 , 中间两条隔墙建造单价为每米 248 元 , 池底建造单价为每平方米 80 元 ( 池壁厚度忽略不计 , 且池无盖 ).(1) 试写出总造价 y( 元 ) 与污水处理池长 x(m) 的函数关系式 , 并指出其定义域 .(2) 污水处理池的长和宽各为多少时 , 污水处理池的总造价最低 ? 并求出最低总造价 .2. 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场 .如图 , 圆形广场的圆心为 O, 半径为 100 m, 并与北京路一边所在直线 l 相切于点 M. 点 A 为上半圆弧上一点 , 过点 A 作 l 的垂线 , 垂足为点 B. 市园林局计划在△ ABM 内进行绿化 . 设△ ABM 的面积为 S( 单位 :m2),∠AON=θ( 单位 : 弧度 ).(1) 将 S 表示为 θ 的函数 .(2) 当绿化面积 S 最大时 , 试确定点 A 的位置 , 并求最大面积 .【解题探究】 1. 典例 1 的解题思路是怎样的 ?提示 : 写出函数解析式及函数定义域 , 然后对函数求导 , 讨论函数的单调性 , 求出最值 .2.(1) 典例 2 中要表示阴影三角形的面积 , 需要求出的量有哪些 ?提示 : 需要求出三角形的两条直角边 AB,BM.(2) 点 A 位置由哪个量决定 ? 怎样求面积的最大值 ?提示 : 点 A 位置由角 θ 的大小决定 ; 表示出 S(θ)后利用导数求最值 .【解析】 1.(1) 设长为 x m, 则宽为 m.据题意 解得 ≤ x≤16,y= ×400+ ×248+16 000=800x+ +16 000 .200x0x16,200016,x 252200(2x2)x 400x259 200x25(x16)2 (2) 令 y′=800- =0, 解得 x=18.当 x∈(0,18) 时 , 函数 y 为减函数 ;当 x∈(18,+∞) 时 , 函数 y 为增函数 .又因为 ≤ x≤16,所以当 x=16 时 ,ymin=45 000.2259 200x252所以当且仅当长为 16 m 、宽为 12.5 m 时 , 总造价最低 , 为 45 000 元 .2.(1)BM=AOsin θ=100sin θ,AB=MO+AOcos θ=100+100cos θ,θ∈(0,π).则 S= MB·AB= ×100sin θ×(100+100cos θ)=5 000(sin θ+sin θcos θ),θ∈(0,π).1212(2)S′=5 000(2cos 2θ+cos θ-1)=5 000(2cos θ-1)(cos θ+1). 令 S′=0,得 ...
