1 / 5 一、二重积分(引例:求平面薄片的质量)基本计算思路:把二重积分化为二次积分(定积分)基本计算的两个步骤: 1)定限; 2)定积分的计算基本计算方法: 1)在直角坐标下的计算方法:x型区域、 y 型区域;2)在极坐标下的计算方法:注意被积函数要乘一个r 。其他知识点:改变积分的次序二重积分的应用: 曲面:,zfx y 的面积为221xyDff dxdy ,其中 D为在 xoy 面上的投影区域。例 1:2222,:,,00DyxdD yRxxyRyR解:原式02232000sincosR xRRdxyxdydrdr33032001 sin233RRRxdxdr dr44414428RRR例 2:交换下列二次积分的次序2113320010,,xxdxfxy dydxfxy dy13 20,yydyfxy dx。二、三重积分(引例:求空间立体的质量)基本计算思路:把三重积分化为三次积分(定积分)基本计算的两个步骤: 1)定限; 2)定积分的计算基本计算方法: 1)投影法; 2)切片法; 3)柱面坐标下计算法; 4)球面坐标下计算法例 3:计算三重积分zdv,式中为由2212zxyz所确定的圆台体。2 / 5 解:方法一、用截面法:2423111544zzdvz dz方法二、用球面坐标:1202, 0,4coscos223cos44133000cos4sinsinsincos2cos4coszdvdddd42202111152242cos8cos484三、关于弧长的曲线积分(引例:求曲线弧状物体的质量)基本计算思路:把曲线积分化为定积分基本计算的两个步骤: 1)化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围,注意定积分的下限总小于上限;2)定积分的计算注意选取适当的参数以简化定积分的计算。例 4:计算2x ds,其中为球面2222xyza 与平面0xyz的交线。解:cossin262:sin023cossin26aaxayaaz原式220cossin26aaad3333222220002cossinsin22632 3aaaaddd四、关于坐标的曲线积分 (引例:变力对沿曲线运动的物体所做的功)3 / 5 基本计算思路:把曲线积分化为定积分基本计算的两个步骤:1)化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围,注意起点对应的参数是定积分的下限终点对应的参数是定积分上限; 2)定积分的计算注意选取适当的参数以简化定积分的计算。例 5:计算曲线积分12cosyyLxyedxyxedy ,其中 L 为由点1 ,1A沿抛物线2yx 到点0 , 0O,再沿 x 轴到点2 , 0B的弧段。解:原式220232210122 cos21xxxexxx edxdx204213sin23sin12sin11xxxxeee其他知识点:格林公式、积分与路径无关(四个等价条件)、势函数、两类曲线积分的联系例 6:求,a b ,使得曲线积分23226Laxyydxx ybxydy在整个 xoy 面上与...