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1 / 5 一、二重积分（引例：求平面薄片的质量）基本计算思路：把二重积分化为二次积分（定积分）基本计算的两个步骤： 1）定限； 2）定积分的计算基本计算方法： 1）在直角坐标下的计算方法：x型区域、 y 型区域；2）在极坐标下的计算方法：注意被积函数要乘一个r 。其他知识点：改变积分的次序二重积分的应用： 曲面:,zfx y 的面积为221xyDff dxdy ，其中 D为在 xoy 面上的投影区域。例 1：2222,:,,00DyxdD yRxxyRyR解：原式02232000sincosR xRRdxyxdydrdr33032001 sin233RRRxdxdr dr44414428RRR例 2：交换下列二次积分的次序2113320010,,xxdxfxy dydxfxy dy13 20,yydyfxy dx。二、三重积分（引例：求空间立体的质量）基本计算思路：把三重积分化为三次积分（定积分）基本计算的两个步骤： 1）定限； 2）定积分的计算基本计算方法： 1）投影法； 2）切片法； 3）柱面坐标下计算法； 4）球面坐标下计算法例 3：计算三重积分zdv，式中为由2212zxyz所确定的圆台体。2 / 5 解：方法一、用截面法：2423111544zzdvz dz方法二、用球面坐标：1202, 0,4coscos223cos44133000cos4sinsinsincos2cos4coszdvdddd42202111152242cos8cos484三、关于弧长的曲线积分（引例：求曲线弧状物体的质量）基本计算思路：把曲线积分化为定积分基本计算的两个步骤： 1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意定积分的下限总小于上限；2）定积分的计算注意选取适当的参数以简化定积分的计算。例 4：计算2x ds，其中为球面2222xyza 与平面0xyz的交线。解：cossin262:sin023cossin26aaxayaaz原式220cossin26aaad3333222220002cossinsin22632 3aaaaddd四、关于坐标的曲线积分 （引例：变力对沿曲线运动的物体所做的功）3 / 5 基本计算思路：把曲线积分化为定积分基本计算的两个步骤：1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意起点对应的参数是定积分的下限终点对应的参数是定积分上限； 2）定积分的计算注意选取适当的参数以简化定积分的计算。例 5：计算曲线积分12cosyyLxyedxyxedy ，其中 L 为由点1 ,1A沿抛物线2yx 到点0 , 0O，再沿 x 轴到点2 , 0B的弧段。解：原式220232210122 cos21xxxexxx edxdx204213sin23sin12sin11xxxxeee其他知识点：格林公式、积分与路径无关（四个等价条件）、势函数、两类曲线积分的联系例 6：求,a b ，使得曲线积分23226Laxyydxx ybxydy在整个 xoy 面上与...