1 / 4 泛函分析题 1_1 压缩映射原理 p9 1.1.1 证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间，而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集．证明： (1) 设(X, )是完备度量空间， AX，A 是 X 的闭子集．若{x n}是 A 中的 Cauchy 列，则 {xn}也是 X 中的 Cauchy 列．因(X, )完备，故 {x n}收敛于 X 中某点 x．而 A 是 X 的闭子集，且 {xn}是 A 中的点列，故其极限x 也在 A 中．因此， {xn}是子空间 A 中收敛列．所以，子空间 (A, )是完备的．(2) 设(X, )是度量空间， BX，B 是 X 的完备子空间．若{x n}是 B 中的点列，且在X 中收敛于 x X．则{x n}是 X 中的 Cauchy 列，因此 {x n}也是 B 中的 Cauchy 列．由 B 是 X 的完备子空间，故 {x n}也是 B 中的收敛列．若{x n}在 B 中收敛于 yB，则{xn}作为 X 中的点列也收敛于y．由极限的唯一性， x y．故 x B．所以 B 是 X 中的闭子集．1.1.2 (Newton法) 设 f 是定义在 [a, b ]上的二次连续可微的实值函数，z (a, b )使得 f (z) = 0 ，f ’ (z) 0．求证存在 z 的邻域 U(z)，使得x 0 U(z)，迭代序列xn +1 = xnf (xn)/ f’ (xn) ( n = 0, 1, 2, ...) 是收敛的，并且 lim nxn = z．证明：首先，由 f’ (z) 0 ，存在 z 的邻域 V ( a, b )，使得 f ’在 cl(V)上总不为 0．2 / 4 设 m = min {| f’(x) | xcl(V)}，M = max {| f’’(x) | xcl(V)}，则 m > 0 ．由 f (z) = 0 ，存在 z 的邻域 U = ( z , z + ) V，使得tcl(U)，| f (t ) | m 2/( M + 1) ．设 T : cl( U)，T(x) = xf (x)/ f’ (x)．则 T 在 cl(U)上是连续可微的．则x, y cl( U)，存在U，使得 T(x) T(y) = T’( )(xy)．故| T(x) T(y) | = | T’( ) | · | xy | = | f( ) f ’’( )/f ’( )2| · | xy | m 2M /(( M + 1) m 2) · | xy | = ( M /( M + 1)) · | xy |．特别地，xcl( U)，| T(x) T(z) | (M /( M + 1)) · | xz | | xz | ．而 T(z) = zf (z)/ f’ (z) = z，故 | T(x) z | ，即 T(x) cl(U)．所以， T 是 cl(U)上的压缩映射．x0 U，迭代序列 xn +1 = xnf (xn)/ f’ (xn) ( n = 0, 1, 2, ...) 就是 cl( U)上的压缩映...
