双曲线和抛物线复习【典型例题 】【双曲线 A】例 1. 已知圆 C 方程为，定点 A （－ 3，0），求过定点A 且和圆 C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程。解析： 圆 P 与圆 C 外切，∴|PC|＝|PA|＋2，即|PC|－|PA|＝2，∴由双曲线定义，点P 的轨迹是以A ，C 为焦点， 2 为实轴长的双曲线的左支，其中，故所求轨迹方程为点评： 在利用双曲线第一定义解题时，要特别注意对定义中“绝对值”的理解，以避免解题时出现片面性。当 P 满足时，点 P 的轨迹是双曲线的一支；当时，点 P 的轨迹是双曲线的另一支，当时，点 P 的轨迹是两条射线。不可能大于。例 2. 如图，以和为焦点的椭圆的离心率，它与抛物线交于两点，以为两渐近线的双曲线上的动点P（x，y）到一定点 Q（2，0）的距离的最小值为1，求此双曲线方程。解析： 由条件知，椭圆中则∴椭圆方程为。解方程组得两点的坐标分别为（3，2），（ 3，－ 2）。∴所求双曲线的渐近线方程为又 Q（2，0）到的距离为所以双曲线的实轴只能在x 轴上。设所求双曲线方程为，则，方程化为，得 P（x，y）在双曲线上，∴①当，即时，当时，解得∴所求双曲线方程为②当，即时，当时，解得或（舍去），∴所求双曲线方程为综上，所求双曲线方程为或点评： 待定系数法是求曲线方程最常用的方法之一。（1）与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为；（2）若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的方程可表示为；（3）与双曲线共焦点的双曲线方程可表示为；（4）过两个已知点的双曲线的标准方程表示为；（5）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为＝1利用上述结论求关于曲线的标准方程，可简化解题过程，提高解题速度。例 3. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上， 离心率为，且过点。（1）求双曲线方程；（2）若点 M （3，m）在双曲线上，求证：；（3）求的面积。解析： （1），∴可设双曲线方程为 过点，∴，即，∴双曲线方程为（2）由（ 1）可知，双曲线中， 点（ 3，m）在双曲线上，∴故（3）的底，的高点评： 双曲线的标准方程和几何性质中涉及到很多基本量，如“a，b，c，e”等，树立基本量思想对于确定曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．另外，渐近线是双曲线特有的，双曲线的渐近线方程可记为.同时以为渐近线的双曲线方程可设为（）。特别地，等轴双曲线方程可设为（）。另外，类似于“MF 1⊥ MF 2”的垂直关系的证明可以通过k1·k2＝－ 1，来证明，也可以通过来...
