向量中一些常用的结论（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） |||||| || ||||ababab ，特别地，当 a b、 同向或有 0|| ||||abab|||||| ||abab ；当 a b、 反向或有 0|| ||||abab|||||| ||abab ；当 a b、 不共线|||||| || ||||ababab ( 这些和实数比较类似 ). （3）在ABC 中，①若112233,,,,,A x yB xyC xy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG。如若⊿ABC的三边的中点分别为（ 2，1）、（ -3 ，4）、（-1 ，-1 ），则⊿ ABC的重心的坐标为 _______ ②1 ()3PGPAPBPCG为ABC的重心，特别地0PAPBPCP 为ABC 的重心；③ PA PBPB PCPC PAP 为ABC 的垂心；④向量()(0)||||ACABABAC所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角平分线所在直线 ) ；⑤ ||||||0AB PCBCPACA PBPABC 的内心；（4）若 P 分有向线段12PP 所成的比为，点 M 为平面内的任一点，则121MPMPMP，特别地 P 为12P P 的中点122MPMPMP；（ 5 ） 向 量 PA PB PC、、中 三 终 点 ABC、 、共 线存 在 实 数、使 得PAPBPC且1一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心） ：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）0OCOBOAO是ABC的重心 . 证法 1：设),(),,(),,(),,(332211yxCyxByxAyxO0OCOBOA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxxO 是ABC 的重心 . 证法 2：如图OCOBOA02ODOAOABCDEODAO2DOA、、三点共线，且 O分 AD为 2：1 O 是ABC 的重心（2）OAOCOCOBOBOAO 为ABC 的垂心 . 证明：如图所示O 是三角形 ABC 的垂心， BE 垂直 AC ，AD 垂直 BC， D、E 是垂足 . 0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB同理BCOA，ABOCO 为ABC 的垂心（3）设 a , b , c 是三角形的三条边长，O是ABC的内心OOCcOBbOAa0为ABC 的内心 . 证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC , (AObACcAB) ，令cbabccbabcAO（bACcAB) 化简得0)(ACcABbOAcba0OCcOBbOAa（4）OCOBOAO 为ABC 的外心。OABCDE
