向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设12,,,nta aaR ，12,,,tk kkR ，称1122ttk ak ak a 为12,,,ta aa 的一个 线性组合。【备注 1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)ttttkkk ak ak aa aakM。这样的表示是有好处的。2. 线性表示设12,,,nta aaR ，nbR ，如果存在12,,,tk kkR ，使得则称 b 可由12,,,ta aa 线性表示 。1122ttbk ak ak a ，写成矩阵形式，即1212(,,,)ttkkba aakM。因此，b 可由12,,,ta aa线 性 表 示 即 线 性 方 程 组1212(,,,)ttkka aabkM有 解 ， 而 该 方 程 组 有 解 当 且 仅 当1212(,,,)(,,,, )ttr a aar a aa b 。3. 向量组等价设1212,,,,,,,ntsa aa b bbR ，如果12,,,ta aa 中每一个向量都可以由12,,,sb bb 线性表示，则称向量组12,,,ta aa 可以由向量组12,,,sb bb 线性表示。如果向量组12,,,ta aa 和向量组12,,,sb bb 可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的 。向量组等价的性质：(1) 自反性任何一个向量组都与自身等价。(2) 对称性若向量组 I 与 II 等价，则向量组 II也与 I 等价。(3) 传递性若向量组 I 与 II 等价，向量组 II 与 III等价，则向量组 I 与 III等价。证明：自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。设向量组 I 为12,,,ra aa ，向量组 II 为12,,,sb bb ，向量组 III为12,,,tc cc 。向量组II可由 III线性表示，假设1tjkjkkby c ，1,2,,js 。向量组 I 可由向量组 II 线性表示，假设1sijijjax b ，1,2,,ir 。因此，11111()ssttsijijjikjkkjjikjjkkjax bxy cy xc ，1,2,,ir因此，向量组 I 可由向量组 III线性表示。向量组 II可由 I 线性表示， III可由 II线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出，向量组 III可由 I 线性表示。因此，向量组 I 与 III等价。结论成立！4. 线性相关与线性无关设12,,,nta aaR ，如果存在不全为零的数12,,,tk kkR ，使得则称12,,,ta aa 线性相关 ，否则，称12,,,ta aa 线性无关 。按照线性表示的矩阵记法，12,,,ta aa 线性相关即齐次线性方程组有非零解，当且仅当12(,,,)tr a aat 。12,,,ta aa 线性无关，即只有零解，当且仅当12(,,,)tr a aat 。特别的，若 tn ，则12,,,nna aaR 线性无关当且仅当12(,,,)nr a aan ，当且仅当12(,,,)na aa可逆，当且仅当12(,,,)0n...
