第 13 章 全等三角形微专题 4 巧用等腰三角形的性质与判定 专题解读 等腰三角形性质与判定的运用1.巧算角度2.巧证两条线段相等3.巧用“角平分线＋平行线⇒等腰三角形”4.巧用“角平分线＋垂线⇒等腰三角形”5.判定三角形的形状 专题训练 类型 1 利用等腰构建方程求角度 1. 如图所示，△ ABC 是等腰三角形，AB＝AC，分别向△ ABC 外作等边△ ADB 和等边△ ACE. 若∠DAE＝∠DBC，求△ ABC 三个内角的大小． 解：△ADB 和△ ACE 是等边三角形， ∴∠DAE ＝ 60° ＋ ∠BAC ＋ 60° ＝ 120° ＋ ∠BAC ，∠DBC＝60°＋∠ABC. 又 ∠DAE＝∠DBC， 120°∴＋∠BAC＝60°＋∠ABC， 即∠ABC＝60°＋∠BAC. △ABC 是等腰三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°＋∠BAC. 设∠BAC＝x，则 x＋2(x＋60°)＝180°， 解得 x＝20°， 即△ ABC 三个内角的大小分别为 20°，80°，80°. 2. (易错题)已知一个等腰三角形的两角分别为(2x－2)°，(3x－5)°，求这个等腰三角形各角的度数． 解：(1)①当(2x－2)°作为顶角时，即(2x－2)＋2×(3x－5)＝180，解得 x＝24，三角形三个角的度数分别为：46°，67°，67°； ②当(3x－5)°为顶角时，即(3x－5)＋2×(2x－2)＝180，解得 x＝27，三角形三个角的度数分别为：52°，52°，76°； ③当以上两个角均为底角时，即(2x－2)＝(3x－5)，解得 x＝3，三角形三个内角分别为：4°，4°，172°. 类型 2 (构建)全等三角形⇒等腰三角形((构建)等腰三角形⇒全等三角形) 3. 如图，AB＝AC，M 是 AB 上一点，N 是 AC 延长线上一点且 BM＝CN，MN 交 BC 于点 D. 求证：MD＝ND. 证明：过点 M 作 ME∥ AN 交 BC 于 E，则∠MEB＝∠ACB， AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠MEB， ∴ME＝MB＝CN， 由此可证△ MED△NCD(A. A. S. )， ∴MD＝ND. 4. 如图，△ ABC 中，∠B＝2∠C，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC＝AB＋BD. 证明：在 AC 上截取 AE＝AB，连结 DE，易证△ ABD△AED(S. A. S. )， ∴∠AED＝∠B，BD＝ED， ∠B＝2∠C，∠AED＝∠EDC＋∠C， 2∴ ∠C＝∠EDC＋∠C， ∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC， ∴AC＝AE＋EC＝AB＋DE＝AB＋BD. 类型 3 利用“角分平、角分垂”条件构建等腰三角形 5. 如图，AD 是△ ABC 的角平分线，BE⊥AD 交 AD的延长线于点 E，EF∥ AC 交 AB 于点 F，求证：AF＝FB....
