第二十四章 圆专题 42 圆中的最值问题武汉专版 · 九年级上册1 ．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 (4 ， 3) ，动⊙ M 经过 A ， O 两点，分别与两轴的正半轴交于点 B ， C ，则 BC 的最小值为 ____ ．2 ．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A(13 ， 0) ，直线 y ＝ kx － 3k ＋ 4与⊙ O 交于 B ， C 两点，则弦 BC 的长的最小值为 ____ ．3 ．如图，在平面直角坐标系中，等边△ OAB 的边 OB 在 x 轴正半轴上，点 A(3 ， m) ， m ＞ 0 ，点 D ，E 分别从 B ， O 以相同的速度向 O ， A 运动，连接 AD ， BE ，交点为 F ， M 是 y 轴上一点，则 FM 的最小值是 __6－2 35244 ．如图，在平面直角坐标系中，分别以点 A(2 ， 3) ，点 B(3 ， 4) 为圆心， 1 ， 3 为半径作⊙ A ，⊙ B ， M ， N 分别是⊙ A ，⊙ B 上的动点， P 为 x 轴上的动点，求 PM ＋ PN 的最小值 . 【解析】如图，作⊙A 关于 x 轴的对称⊙A′，连接 BA′分别交⊙A′和⊙B 于点 M′，N，点 M 为点 M′关于 x 轴在⊙A 上的对称点，交 x 轴于点 P，则此时 PM＋PN 最小．∵点 A 坐标(2，3)，∴点 A′坐标(2，－3)．∵点 B(3，4)，∴A′B＝ （2－3）2＋（－3－4）2＝5 2，∴PM＋PN＝PM′＋PN＝M′N＝A′B－BN－A′M′＝5 2－3－1＝5 2－4，∴PM＋PN 的最小值为 5 2－4.6 ．如图，⊙ O 的半径为 1 ，弦 AB ＝ 1 ，点 P 为优弧 AB 上一动点， AC⊥AP 交直线 PB 于点 C ，求△ ABC 的最大面积．【解析】连接 OA，OB，如图①，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB 为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝12∠AOB＝30°.∵AC⊥AP，∴∠C＝60°.∵AB＝1，要使△ABC 的面积最大，则点 C 到 AB 的距离最大．∵∠ACB＝60°，∴点 C 在⊙D 上，且∠ADB＝120°，如图②，当点 C 是优弧 AB 的中点时，点 C 到 AB 的距离最大，此时△ABC 为等边三角形，且 S△ABC＝ 34AB2＝ 34，∴S△ABC最大为 34.
