研究生数值分析 (9)矩阵的条件数和病态线性方程组课件2023REPORTING• 矩阵的条件数• 病态线性方程组• 条件数与病态线性方程组的关系• 数值实例分析• 总结与展望目 录CATALOGUE2023PART 01矩阵的条件数2023REPORTING定义：条件数是衡量矩阵数值稳定性的一个重要指标，它表示了矩阵在进行数值计算时对舍入误差的敏感性。具体来说，条件数定义为矩阵 A 的谱半径与 A 的逆矩阵的谱半径的乘积，记为 cond(A) 。谱半径是矩阵特征值的绝对值最大值。条件数的定义病态线性方程组是指该方程组对微小的数据变化非常敏感，导致计算结果与真实解偏差很大。条件数可以用来评估线性方程组的病态程度。如果条件数很大，说明该方程组是病态的，需要采取特殊方法进行求解。条件数越小，方程组的数值稳定性越好，计算结果越接近真实解。010203条件数与病态线性方程组的关系123通过计算矩阵的特征值来计算条件数。这种方法适用于较小的矩阵，但对于大规模矩阵来说，计算量较大。直接法对矩阵进行奇异值分解（ SVD ），然后利用分解结果计算条件数。这种方法适用于大规模矩阵，且计算精度较高。利用 SVD 分解对矩阵进行 QR 分解，然后利用分解结果计算条件数。这种方法适用于对称正定矩阵，且计算精度较高。利用 QR 分解条件数的计算方法PART 02病态线性方程组2023REPORTING病态线性方程组的定义病态线性方程组是指在实际应用中，由于测量误差、舍入误差或其他原因，导致方程组中存在小的扰动，使得方程组变得不稳定，解的精度受到很大影响。病态线性方程组在数值计算中经常出现，如地球物理学、气象学、医学等领域。不稳定性由于方程组中的系数矩阵的条件数很大，导致解的精度非常容易受到扰动的影响，解的稳定性很差。对初值敏感即使初始值非常接近真实解，但由于方程组的不稳定性，迭代求解过程中可能会远离真实解。病态线性方程组的特性预处理方法通过预处理技术改善系数矩阵的条件数，提高解的稳定性。常用的预处理方法有对角占优法、不完全分解法等。迭代方法采用迭代法求解病态线性方程组，如共轭梯度法、雅可比法等。在迭代过程中，需要选择合适的迭代终止准则和收敛性判断方法。约束优化方法将病态线性方程组转化为约束优化问题，通过优化算法求解。这种方法可以处理更复杂的约束条件和多变量问题。病态线性方程组的求解方法PART 03条件数与病态线性方程组的关系2023REPORTING描述矩阵对数值变化敏感性的量，通常用 K 表示。条...
