1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性【自我预习】函数的单调性与其导数符号的关系设函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内可导 ,(1) 如果在 (a,b) 内 ,f′(x)>0, 则 f(x) 在此区间是 ________,(a,b) 为 f(x) 的 ___________.增函数单调增区间(2) 如果在 (a,b) 内 ,f′(x)<0, 则 f(x) 在此区间是 ________,(a,b) 为 f(x) 的 ___________.减函数单调减区间【思考】(1) 在区间 (a,b) 上 , 如果 f′(x)>0 则 f(x) 在该区间上单调递增 , 反过来也成立吗 ?提示 : 不一定 . 例如 f(x)=x3 在 R 上为增函数 , 但 f′(0)=0,所以 f′(x)>0 是 f(x) 在该区间上单调递增的充分不必要条件 .(2) 利用导数求函数的单调区间 , 需要先确定什么 ?提示 : 函数的定义域 . 函数的单调区间是函数定义域的子集 .【自我总结】1. 对函数的单调性与其导数正负关系的三点说明(1) 若在某区间上有有限个点使 f′(x)=0, 在其余的点恒有 f′(x)>0, 则 f(x) 仍为某区间上增加的 ( 减少的情形完全类似 ).(2)f(x) 为某区间上增加的充要条件是对任意的 x∈(a,b) 都有 f′(x)≥0 且在 (a,b) 内的任一非空子区间上 f′(x) 不恒为 0.(3) 特别地 , 在某个区间内如果 f′(x)=0, 那么函数y=f(x) 在这个区间内是常数函数 .2. 利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题(1) 定义域优先的原则 : 解决问题的过程只能在定义域内 , 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 .(2) 注意“间断点” : 在对函数划分单调区间时 , 除了必须确定使导数等于零的点外 , 还要注意在定义域内的间断点 .(3) 单调区间的表示 : 如果一个函数的单调区间不止一个 , 这些单调区间之间不能用“∪”连接 , 而只能用“逗号”或“和”字等隔开 .3. 需要明确的三种关系(1)f′(x)>0 与 f(x) 为增函数的关系f′(x)>0 能推出 f(x) 为增函数 , 若 f(x) 为增函数 ,则 f′(x)≥0, 且 f′(x) 不恒为 0.(2)f′(x)≠0 时 ,f′(x)>0 与 f(x) 为增函数的关系若将 f′(x)=0 的根作为分界点 , 因为规定 f′(x)≠0,即去除了分界点 , 此时 f(x) 为增函数 , 就一定有 f′(x)>0.所以 f(x) 可导且 f′(x)≠0 时 ,f′(x)>0 是 f(x) 为增函数的充分必要条件 .(3)f′(x)≥0 与 f(x) 为增函数的关系f(x) 为增函数 , 一定可以推出 f′(x)≥0, 但反之不一定 , 因...
