第二章 推理与证明 ( 不作要求 )第三章 数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实 数 系 3.1.2 复数的概念【自我预习】1. 数系的扩充自然数集 (N)→ 整数集 (Z)→ 有理数集 (Q)→ 实数集(R)→ 复数集 (C).2. 复数的概念(1) 表示方法 : 复数通常用 z 表示 , 即(2) 复数集 :_________ 所构成的集合 C.全体复数3. 复数相等的充要条件与分类(1) 两个复数相等的充要条件 :设 a+bi,c+di∈C(a,b,c,d∈R), 则a+bi=c+di_________,a+bi=0_________.⇔⇔a=c 且 b=da=0 且 b=0(2) 复数的分类 :【思考】(1) 复数 a+bi 的实部是 a, 虚部是 b 吗 ?提示 : 不一定 , 只有当 a,b∈R 时 ,a 才是实部 ,b 才是虚部 .(2) 若 z1,z2∈R, = 0 ，则 z1=z2=0, 此命题对 z1,z2∈C 还成立吗 ?提示 : 不一定成立 . 比如 z1 =1,z2 =i 满足 =0 但z1≠0, z2≠0.2212zz2212zz(3) 两个复数一定不能比较大小 , 对吗 ?提示 : 不一定 , 当两个复数都是实数时 , 可以比较大小 ; 两个虚数、或一个虚数与一个实数不能比较大小 ,即两个复数除去都是实数外 , 没有大小关系 .【自我总结】1. 对数系的扩充与复数概念的三点说明(1) 从解方程的角度看 , 像 x2=-1 这个方程在实数范围内就无解 , 为了解决这个问题引入一个新数 i, 叫虚数单位 , 且规定① i2=-1; ②i 可与实数进行四则运算 ;且原有的加、乘运算律仍成立 .(2) 复数集中不全是实数的两数不能比较大小 , 如 i 和 0.若 i>0, 则 i·i>0·i, 即 -1>0, 不成立 .若 i<0, 则 i·i>0·i, 即 -1>0, 不成立 .(3) 形如 a+bi(a,b∈R) 的数叫做复数 , 复数是数系扩充以后得到的另一种数 , 通常用字母 z 表示 . 它与实数有本质的区别 , 但也有内在的联系 : 当 b=0 时 ,z=a 为实数 .2. 两个复数相等的充要条件(1) 在两个复数相等的充要条件中 , 注意前提条件是a,b,c,d∈R, 即当 a,b,c,d∈R 时 ,a+bi=c+dia=c⇔且 b=d.若忽略前提条件 , 则结论不能成立 .(2) 利用该条件把复数的实部和虚部分离出来 , 达到“化虚为实”的目的 , 从而将复数问题转化为实数问题来求解 .【自我检测】1. 思维辨析 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”)(1) 若 a,b 为实数 , 则 z=a+bi 为虚数 .( )(2) 复数 z1=3i,z2=2i, 则 z1>z2.( )(3) 复数 z=bi 是纯虚...
