第一章 导数及其应用1.1 导 数1.1.1 函数的平均变化率【自我预习】函数 y=f(x) 在区间 [x0,x0+Δx]( 或 [x0+Δx,x0]) 的平均变化率(1) 条件 : 已知函数 y=f(x),x0,x1 是其定义域内不同的两点 , 记 Δx=x1-x0,Δy=y1-y0=f(x0+Δx)-f(x0).(2) 结论 :Δx≠0 时 , 商 : 称作函数y=f(x) 在区间 [x0,x0+Δx]( 或 [x0+Δx,x0]) 的平均变化率 .(3) 实质 :_______ 的改变量与 _______ 的改变量 _____.(4) 作用 : 刻画函数在区间 [x0,x0+Δx]( 或 [x0+Δx,x0])上变化的快慢 .00f (xx)f xx函数值自变量yx之比【微提醒】 Δx 是变量 x2 在 x1 处的改变量 , 且 x2 是 x1 附近的任意一点 , 即 x2 可以在 x1 的左侧也可以在右侧 .【思考】(1) 在平均变化率的定义中 , 自变量 x 在 x0 处的增量Δx 是否可以为任意实数 ,Δy 呢 ?提示 : 在平均变化率的定义中 , 增量 Δx 可正、可负 ,但不能等于 0; 而 Δy 可以为任意实数 .(2) 对于函数 f(x), 若 x1≠x2, 平均变化率能否表示为 ?提示 : 能 . 若从 x1 变为 x2, 平均变化率为 ,若从 x2 变为 x1, 平均变化率为 ,而 = . 1212f xf xxx 2121f xf xxx 1212f xf xxx 2121f xf xxx 1212f xf xxx【自我总结】1. 对平均变化率的两点说明(1)y=f(x) 在区间 [x1,x2] 上的平均变化率是曲线y=f(x) 在区间 [x1,x2] 上陡峭程度的“数量化” , 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化” .(2) 平均变化率的绝对值越大 , 曲线 y=f(x) 在区间[x1,x2] 上越“陡峭” , 反之亦然 .2. 平均变化率的两个意义(1) 平均变化率的几何意义就是函数 y=f(x) 图象上两点P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)) 所在直线的斜率 .(2) 平均变化率的物理意义是把位移 s 看成时间 t 的函数s=s(t), 在时间段 [t1,t2] 上的平均速度 ,即 . 2121s ts tvtt3. 对两个改变量的理解(1) 自变量的改变量 : 用 Δx 表示 , 即 Δx=x2-x1, 表示自变量相对于 x1 的“增加量” .(2) 函数值的改变量 : 用 Δy 表示 , 即 Δy=f -f ,也表示为 f -f , 表示函数值在 x1 处的“增加量” .2x 1x1(xx) 1x(3) 改变量并不一定都是正值 , 也可以负值 , 函数值的改变量还...
