北师特学校2012-2013年度第一学期第四次月考文科数学试题一、选择题:本大题共8小题。每小题5分,共40分。1.计算等于(B)A.B.C.D.2.下列函数中,是奇函数且在区间内单调递减的函数是(C)A.B.C.D.3.已知命题,使,则(D)A.,使B.,使C.,使D.,使4.等差数列na的前n项和是nS,若125aa,349aa,则10S的值为(B)A.55B.65C.60D.705.在空间,下列命题正确的是(B)A.平行直线在同一平面内的射影平行或重合B.垂直于同一平面的两条直线平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.平行于同一直线的两个平面平行6.若直线与圆有公共点,则实数取值范围是(B)A.B.C.D.7.不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是(C)A.B.C.D.8.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么双曲线的离心率是(D)A.2B.3C.312D.512二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上.9.在中,三边所对的角分别为、、,若,,,则1。10.已知实数对满足则的最小值是___3_______.11.已知正数、满足则的最小值为.12.设a,b,c是单位向量,且,则向量a,b的夹角等于.13.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2).则|PA|+|PF|的最小值是,取最小值时P点的坐标.14.函数的图象如图所示,则.三、解答题:共6小题,共80分.15.(满分12分)已知函数.(1)求函数的最小正周期和最大值;(2)求函数在区间上的最大值与最小值.解:(Ⅰ)因为,所以.………………………..3分所以其最小正周期为……………..5分又因为,所以.所以函数的最小正周期是;最大值是.……………………..7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知.因为,所以.所以当,即时,函数有最大值是;2026xy当,即时,函数有最小值是.所以函数在区间上的最大值是,最小值是.………………..12分16.(满分13分)(1)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,求三棱锥的体积.(2)过直角坐标平面xOy中的抛物线022ppxy的焦点F作一条倾斜角为4的直线与抛物线相交于A,B两点.用p表示A,B之间的距离;解:(1)该几何体的高h===2,∴V=××6×2×2=4.解:(2)焦点0,1F,过抛物线的焦点且倾斜角为4的直线方程是2pxy由222pxypxy04322ppxx4,32pxxpxxBABAppxxABBA4(或ppAB44sin22)17.(满分13分)如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.(1)求证:DM∥平面APC;(2)求证:平面ABC⊥平面APC;解:(1)由已知得,MD是△ABP的中位线∴MD∥AP∵MD⊄面APC,AP⊂面APC∴MD∥面APC(2)∵△PMB为正三角形,D为PB的中点,∴MD⊥PB,∴AP⊥PB又∵AP⊥PC,PB∩PC=P∴AP⊥面PBC∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC又∵BC⊥AC,AC∩AP=A∴BC⊥面APC∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC18.(本小题满分13分)已知函数(I)若曲线在点处的切线与直线垂直,求a的值;(II)求函数的单调区间;解:(I)函数,又曲线处的切线与直线垂直,所以即a=1.(II)由于当时,对于在定义域上恒成立,即上是增函数.当当单调递增;当单调递减.19.(本小题14分)已知椭圆()过点(0,2),离心率.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过定点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,且为锐角(其中为坐标原点),求直线斜率的取值范围.解:(Ⅰ)由题意得结合,解得所以,椭圆的方程为.(Ⅱ)设,则.设直线的方程为:由得即.所以,解得.故.为所求.20.(本小题14分)已知等比数列na满足23132aaa,且23a是2a,4a的等差中项.(Ⅰ)求数列na的通项公式;(Ⅱ)若21lognnnbaa,nnbbbS21,求使1247<0nnS成立的正整数n的最小值.解:(Ⅰ)设等比数列na的首项为1a,公比为q,依题意,有).2(2,32342231aaaaaa即)2(.42)()1(,3)2(2131121qaqqaqaqa由)1(得0232qq,解得1q或2q.当1q时,不合题意舍;当2q时,代入(2)得21a,所以,nnna2221.(Ⅱ)2211log2log22nnnnnnbana-.所以232122232nnSn23(2222)(123)nn212121222)1(21)21(2nnnnnn因为04721nnS,所以0472212122121nnnn,即2900nn,解得9n或10n.因为Nn,故使1247<0nnS成立的正整数n的最小值为10.