概率与统计 课程教案授课题目（教学章、节或主题）：第四章第一节 数学期望教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：理解随机变量的数学期望的概念和性质，并会根据随机变量 X 的概率分布求其函数的数学期望，掌握常用分布的数学期望教学重点及难点：根据随机变量 X 的概率分布求其函数的数学期望课时安排：3 课时授课方式：讲授教学基本内容：离散型随机变量的数学期望 例 1 某年级有 50 名学生，17 岁的有 2 人，18 岁的有 2 人，16 岁的有 46 人，则该年级学生的平均年龄为(17×2+18×2+16×46)50=17× 250 +18× 250 +16×4650 =16.2 事实上我们在计算中是用频率为权重的加权平均，对于一般的离散型随机变量，其定义如下： 定义 1 设离散型随机变量X 的分布律为 P(Xk = xk) = pk (k = 1，2，…), 若级数∑k=1∞xk pk绝对收敛，则称其为随机变量X 的数学期望(Mathematical expectation)或均值(Average)．记为E( X)=∑k=1∞x k pk． 若级数∑k=1∞|xk pk|发散，则称随机变量X 的数学期望不存在． 例 2 一批产品有一二三等品及废品 4 种，所占比例分别为60%,20%,10%,10%，各级产品的出厂价分别为 6 元，4.8 元，4 元，0 元，求产品的平均出厂价． Solution 设X 为任取一只产品的出厂价, X 的分布律为:X64.840p0.60.20.10.1平均出厂价为E( X)=6×0.6+4.8×0.2+4×0.1+0×0.1=4.96 (元) 例 3 设随机变量X 服从参数为λ 的泊松分布，求它的数学期望． Solution 由于pk=P{X=k }= λkk! e−λ，k=1,2,…因而E( X)=∑k=1∞kpk=∑k=1∞k λkk ! e−λ¿∑k=1∞ λk(k−1)! e−λ= λe−λ∑k=1∞ λk−1(k−1)!¿ λe−λe λ=λ2. 连续型随机变量的数学期望 定义 2 设连续型随机变量X 的分布密度函数为f ( x)，若积分∫−∞+∞xf (x)dx绝对收敛，则 称 其 为 X 的 数 学 期 望 或 均 值 ． 记 为 E( X)， E( X)=∫−∞+∞xf (x)dx． 若 积 分E( X)=∫−∞+∞|xf (x)|dx 发散，则称随机变量X 的数学期望不存在． 例 3 设随机变量X 服从参数为θ (θ >0)的指数分布，求E( X)． Solution 由于指数分布的密度函数为f ( x)={1θ e− xθ , x>00, x≤0因而E( X)=∫0+∞xf (x )dx=∫0+∞ 1θ xe−x/θdx¿−xe−x/θ|0+∞+∫0+∞e−x/θdx¿0−θe−x/θ|0+∞=θ. 例 4 设随机变量X 服从(a,b)上的...
