学习好资料欢迎下载利用均值不等式求最值的九种技巧不等式易错题剖解利用均值 （基本） 不等式求最值是历年高考的热点内容之一.利用均值不等式所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备.下面谈谈常见的凑“定和”或“定积”的技巧，供同学们参考. 一、 添、减项（配常数项）例 1 求函数 y=3x2+162+x2 的最小值 . 分析 3x2+162+x2 是二项“和”的形式， 但其“积” 的形式不为定值.而 12+x2 可与 x2+2相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即 y=3x2+6+162+x2-6 ，再用均值不等式. 解 x2+2＞0,y=3x2+162+x2=3(x2+2)+162+x2-6 ≥23(2+x2) ·162+x2-6=83-6, 当且仅当3(2+x2)=162+x2 ，即 x2=433-2 时,等号成立 . 所以 y 的最小值是83-6. 评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 二、 配系数（乘、除项）例 2 已知 x＞ 0，y＞0，且满足 3x+2y=12 ，求 lgx+lgy 的最大值 . 分析 lgx+lgy=lg(x+y),xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x+y 是否定值，而已知是3x 与 2y 的和为定值12，故应先配系数，即将xy 变形为 3x· 2y6，再用均值不等式 . 解 x,y＞0,lgx+lgy=lg(xy)=lg3x ·2y6≤ lg163x+2y22=lg161222=lg6 ，当且仅当3x=2y，即 x=2，y=3 时，等号成立 . 所以 lgx+lgy 的最大值是lg6. 评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用ab≤ a+b22来解决 . 三、 裂项学习好资料欢迎下载例 3 已知 x＞ -1，求函数 y=(x+5)(x+2)x+1 的最小值 . 分析 在分子的各因式中分别凑出(x+1) ，借助于裂项解决问题. 解 x+1＞0,y=[(x+1)+4][(x+1)+1]x+1 =(x+1)+4x+1+5 ≥2(x+1)4x+1+5=9 ，当且仅当x+1=4x+1，即 x=1 时，取等号 . 所以 ymin=9. 四、 取倒数例 4 已知 0＜ x＜12，求函数 y=(x+1)2x(1-2x) 的最小值 . 分析 分母是x 与 (1-2x)的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为（1+x）(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 解 由 0＜ x＜12，得 1+x＞0， 1-2x＞0. 取倒数，得1y=x(1-2x)(1+x)2=13 ·3x1+x·1-2x1+x ≤133x1+x+1-2x1+x22=112 ，当且仅当3x1+x=1-2x1+x ，即 x=15 时，取等号 ....
