精品文档。1欢迎下载均值不等式一、基本知识梳理1. 算术平均值：如果a﹑ b∈R+，那么叫做这两个正数的算术平均值. 2. 几何平均值：如果a﹑ b∈R+，那么叫做这两个正数的几何平均值3. 重要不等式：如果a﹑ b∈R，那么 a2+b2≥ (当且仅当 a=b 时，取“ =”) 均值定理：如果a﹑b∈ R+，那么2ab ≥ (当且仅当 a=b 时，取“ =”) 均值定理可叙述为：4．变式变形：2222221;22;230 ;4252.abababbaabababab；5. 利用均值不等式求最值， “和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。注意三个条件： “一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负； （2）和或积为定值；（3）各项或各因式都能取得相等的值。6. 若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。二、常见题型：1、分式函数求最值，如果)(xfy可表示为BxgAxmgy)()(的形式，且)(xg在定义域内恒正或恒负，,0,0 mA则可运用均值不等式来求最值。例：求函数)01(112axxxaxy且的最小值。解：1)1(11112xaaaxxxaxaxxxaxy1212211)1(aaaxaxa当1)1(xaxa即 x=0 时等号成立，1miny精品文档。2欢迎下载2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。例：已知191,0,0baba且，求ba的最小值。解法一：169210991baabba思路二：由191ba变形可得,9,1,9)9)(1(baba然后将ba变形。解法二：16109210)9)(1(210)9()1(bababa可以验证：两种解法的等号成立的条件均为12,4 ba。此类题型可扩展为：设321aaa、、均为正数，且maaa321，求321111aaaS的最小值。)111)((1321321aaaaaamS)]()()(3[1322331132112aaaaaaaaaaaammm9)2223(1，等号成立的条件是321aaa。3、题中所求的式子中带有根式，而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来求解，对不等式逆向转换，本类题型一般情况都给出来x 的取值范围，根据取值范围来进行逆向转换。例：求函数]3,21[,37xxxy的最小值。思路：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给区间]3,21[x入手，可得一个不等式0)3)(21(xx（当且仅当21x或3x时取等号），展开此式讨论即可。解：,0)3)(21(xx即,372,037222xxxx,372,0xxx得2m iny4、不等式的变形在证明过程...
