利用函数与方程的思想解“希望杯”试题两例（王文新）第十一届“希望杯”数学邀请赛高一第 1 试的第 5、 第 25 题， 体现了邀请赛的宗旨——提高学生的创新精神及高考应试能力。比较深入地考查了函数与方程的思想。现说明如下。题 5 定义域为 R 的函数 f(x), g(x)都有反函数，并且函数 f(x+1)和 g−1(x-2)的图象关于直线 y=x 对称，若 g(5)=1999，那么 f(6)=( )（A） 1999。 （B） 2000。 （C） 2001。 （D） 2002。此题固然可由数形结合求解，但用函数与方程的思想求解更为准确迅速。解 因为 g(5)=1999，所以 g−1(1999)=5,即 g−1(2001-2)=5, 即（2001，5）是方程 y=g−1(x-2)的解。由 f(x+1)与 g−1(x-2)的图象关于直线 y=x 对称，可知 f(x+1)与 g−1(x-2)互为反函数。故点（2001，5）关于直线 y=x 的对称点（5，2001）在 f(x+1)的图象上。即 （5，2001）是方程 y=f(x+1)的解，所以 f(5+1)=2001，即 f(6)=2001。选（C）。题 25 已知sinα cos β=13 ,0≤α , β<2π ,则sinα cos β 的取值范围是 ，cos α cos β的取值范围是 。此题若单纯用三角变换及不等式求解，则较麻烦，不妨转换成二次函数的最值问题。解 由sinα cos β=13 ,得sin2α cos2 β=19 ,所以 sin2 α(1−sin2 β)=19 , sin2 α sin2 β=sin2α−19 .设 y=sin2α sin2 β=sin2α−19 ,(−1≤sinα≤1),易知 y=sin2α−19≤89 ,即 |sinα sinβ|≤2√23 , 即 −2√23 ≤sinα sinβ≤2√23 .同理，由sin2 α cos2 β=19 ,可得 (1−cos2α )cos2 β=19 ,即有 cos2α cos β2=cos2 β−19 .易知 −2√23 ≤cos α cos β≤2√23 .注 第 25 题的原答案（0，2√23）有误，不妨取sinα sinβ=−13 ,由题设sinα cos β=13 , 可得tanβ=−1,β取 =3π4 ,则由sinα cos β=3π4 =13 ,可得sinα=−√23 ;取α=π+arcsin √23 ，显然满足 0≤α；β<2π。
