一、基本概念1 、两条异面直线所成的角 直线 a 、 b 是异面直线,经过空间任意一点o ,作直线 a’ 、 b’ ,并使 a’//a , b’//b ,我们把直线a’ 和 b’ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和 b 所成的角。范围: θ( 0∈0 , 900 ] aαbo.aˊO 是空间中的任意一点 点 o 常取在两条异面直线中的一条上bˊθoooo范围: θ∈ ( 00 , 900 ] 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,特别地,若 L⊥α 则 L 与α 所成的角是直角,若 L//α 或 L α,则 L 与 α 所成的角是 0º 的角。范围: θ[ 0∈0 , 900 ] 3 、二面角及它的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 AαβLBO范围: θ[ 0∈0 , 1800 ] 练习一:如下图:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,ABCDA1B1C1D1(1) 直线 AD 与 BD1 所成角的余弦值为 _____ (2) 直线 BD1 与平面 BCC1B1 所成角的正切值为 _____( 3 )二面角 D-AC-D1 的正切值为 ______033222a 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化,即把空间的角转化为平面的角,进而转化为三角形的内角,然后通过解三角形求得。2. 数学方法:a. 求异面直线所成的角:1. 数学思想:平移 构造可解三角形 c. 求二面角:找(或作)其平面角 构造可解三角形到目前为止,我们学过以下两种方法:b. 求直线与平面所成的角:找(或作)射影 构造可解三角形 ( ① 垂线法——利用定义作出平面角,通过解直角三角形求角的大小 ② 垂面法——通过作二面角的棱的垂面,两条交线所成的角即为平面角3. 解题步骤:① 作(找) ② 证③ 算 SABCD例题:如图,四棱锥 的底面是边长为 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD ,且 SD= 1 。 ( I ) 求证 ; AABSABCSD二、例题选讲 BASCDM11E450例题:如图,四棱锥 的底面是边长为 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD ,且 SD= 1 .SABCD()Ⅱ 设棱 SA 的中点为 M ,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小 ;()Ⅲ 求 SD 与面 SAB 所成角的大小;1 BASCDA1()Ⅳ 求面 ASD 与面 BSC所成二面角的大小。450 1. ( 2009 年上海卷理)如图,若...