初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似OABCDE图1OABCDE图2OABCDE图1OABCDE图2OABCDEOABCDE图1图2OABCDOABCDE（1）一般情况【条件】：CD∥AB，将△OCD旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA（2）特殊情况【条件】：CD∥AB，∠AOB=90°将△OCD旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；③tan∠OCD；④BD⊥AC；⑤连接AD、BC，必有；⑥三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=OC；③OABCDEOABCDAOBCDE图1AOBCDEMN图2AOBCDEF图3AOBCDEMN图4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。（3）全等型-任意角ɑ【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【结论】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：原结论变成：①；②；③。可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。AOBCEFAOBCEFFAOBEDCAOBECD对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③注意OC平分∠AOB时，∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？四、模型四：角含半角模型90°（1）角含半角模型90°---1【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；【结论】：①∠EAF=45°；AOBECDAOBCDEABCDEFABCDEFG（2）角含半角模型90°---2【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF-BE；（3）角含半角模型90°---3【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【结论】：（如图1）若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论仍然成立（如图2）ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEABCDEFABCDEABCDEF（4）角含半角模型90°变形【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【结论】：△AHE为等腰直角三角形；证明：连接AC（方法不唯一） ∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE，又 ∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE，∴∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型（1）倍长中线类模型---1【条件】：①矩形ABCD；②BD=BE；③DF=EF；【结论】：AF⊥CF模型提取：①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。（2）倍长中线类模型---2【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【结论】：∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造等腰△EMC，等腰△MCF。（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）模型六：相似三角形360°旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；ABCDGHFEABCDGHFEABCEFDHABEFDHABCDMEABCDMEF【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△BDG为等腰直角三角形；突破点：△ABD≌△CBG；难点：证明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形...
