专题七 实际应用问题 微切口 24 以立体几何为背景的应用问题 如图(1)为某市度假村的一特色星空酒店，该酒店由多座帐篷构成．每一座帐篷的体积为 54π m3，且分上下两层，其中上层是半径为 r m(r≥1)的半球体，下层是半径为 r m，高为 h m 的圆柱体，如图(2)所示．经测算，上层半球体部分的建造费用为 2千元/m2，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分的平均建造费用为 3 千元/m2.设每一座帐篷的总建造费用为 y 千元． 图(1) 图(2) (1) 求 y 关于的 r 函数解析式，并指出该函数的定义域； 【思维引导】 【解答】 由题意知23πr3＋πr2h＝54π，所以 h＝54r2－23r， 所以 y＝2πr2×2＋2πr2×3＋2πrh×3 ＝10πr2＋6πr·54r2－23r ， 化简得，y＝6πr2＋54r .因为 h>0，r≥1，所以54r2－23r>0， 得 1≤r<33 3，即函数的定义域为{r|1≤r<33 3}. (2) 当半径 r 为何值时，一座帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【解答】 设 g(r)＝r2＋54r ，1≤r<33 3， 则 g′(r)＝2r－54r2＝2r－3r2＋3r＋9r2，令 g′(r)＝0，得 r＝3. 当 r 变化时，g′(r)，g(r)的变化情况如下表： r [1,3) 3 (3,33 3] g′(r) － 0 ＋ g(r) 极小值 •所以当 r ＝ 3 时， g(r) 取得最小值，且最小值为 27 ，•所以原函数当 r ＝ 3 时，取得最小值为 162π.•答：当半径 r 为 3 m 时，一座帐篷的总建造费用最小，且最小值为 162π 千元． 如图(1)是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为 r dm 的半圆，及矩形 ABCD 组成，其中 AD 长为 a dm，如图(2)所示．为了美观，要求 r≤a≤2r.已知该首饰盒的长为 4r dm，容积为 4 dm3(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为 1 百元/dm2，上半部分制作费用为 2 百元/dm2，设该首饰盒的制作费用为 y 百元． 图(1) 图(2) (1) 写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； 【解答】 由题意知 4＝4r12πr2＋2ar ＝2πr3＋8ar2, 所以 a＝4－2πr38r2＝2－πr34r2 . 因为 r≤a≤2r，得328＋π≤r≤324＋π， 所以 y＝4r(2a＋2r)＋4ar＋2(πr×4r＋πr2) ＝12ar＋8r2＋10πr2， ＝12r×2－πr34r2 ＋8r2＋10πr2＝6r＋(8＋7π)r2， 定义域为328＋π，324＋π . (2) 当 r 为何值时，...
