—— 数列的综合应用大 题 考 法三讲第题型 ( 一 )主要考查数列中的不等关系的证明及由不等式恒成立问题求参数. 数列与不等式问题[典例感悟] [例 1] (2018·南京考前模拟)若各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2 Sn＝an＋1 (n∈N *)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若正项等比数列{bn}，满足 b2＝2，2b7＋b8＝b9，求 Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn； (3)对于(2)中的 Tn，若对任意的 n∈N *，不等式λ(－1)n＜12n＋1(Tn＋21)恒成立，求实数 λ 的取值范围． [解] (1)因为 2 Sn＝an＋1， 所以 4Sn＝(an＋1)2，且 an＞0， 则 4a1＝(a1＋1)2，解得 a1＝1， 又 4Sn＋1＝(an＋1＋1)2， 所以 4an＋1＝4Sn＋1－4Sn＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2， 即(an＋1＋an)(an＋1－an)－2(an＋1＋an)＝0， 因为 an＞0，所以 an＋1＋an≠0， 所以 an＋1－an＝2，所以{an}是公差为 2 的等差数列， 又 a1＝1， 所以 an＝2n－1. (2)设数列{bn}的公比为 q，因为 2b7＋b8＝b9，所以 2＋q＝q2，解得 q＝－1(舍去)或 q＝2， 由 b2＝2，得 b1＝1，即 bn＝2n－1. 记 A＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1， 则 2A＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n， 两式相减得－A＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n， 故 A＝(2n－1)×2n－1－2(2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)×2n－1－2(2n－2)＝(2n－3)×2n＋3 所以 Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(2n－3)·2n＋3. (3)不等式 λ(－1)n＜ 12n＋1(Tn＋21)可化为(－1)nλ＜n－32＋ 62n－1. 当 n 为偶数时，λ＜n－32＋ 62n－1， 记 g(n)＝n－32＋ 62n－1. 即 λ＜g(n)min. g(n＋2)－g(n)＝2＋ 62n＋1－ 62n－1＝2－ 92n， 当 n＝2 时，g(n＋2)＜g(n)，n≥4 时，g(n＋2)＞g(n)， 即 g(4)＜g(2)，当 n≥4 时，g(n)单调递增，g(n)min＝g(4)＝134 ，即 λ＜134 . 当 n 为奇数时，λ＞32－n－ 62n－1， 记 h(n)＝32－n－ 62n－1，所以 λ＞h(n)max. h(n＋2)－h(n)＝－2－ 62n＋1＋ 62n－1＝－2＋ 92n， 当 n＝1 时，h(n＋2)＞h(n)，n≥3 时，h(n＋1)＜h(n)， 即 h(3)＞h(1)，n≥3 时，h(n)单调递减，h(n)max＝h(3)＝－3，所以 λ＞－3. 综上所述，实数 λ 的取值范围为－3，134 . [方法技巧] 解决数列与不等式问题的注意点及策略 (1)利用基本不等式或函数的单调性求解...
