第 7 讲 立体几何中的向量方法 ( 一 ) 【2013年高考会这样考】 1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算． 2．能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理． 3．利用空间向量求空间距离． 【复习指导】 本讲复习中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离． 基础梳理 1．空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)； ②λa＝(λa1，λa2，λa3)； ③a·b＝ a1b1 ＋ a2b2 ＋ a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔ a＝λb⇔ ， ， ， a⊥b⇔ ⇔ (a，b均为非零向量)． a1 ＝ λb1 a2 ＝ λb2 a3 ＝ λb3(λ∈R) a·b ＝ 0 a1b1 ＋ a2b2 ＋ a3b3 ＝ 0 (3)模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23， cos〈a，b〉＝ a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23. 设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则dAB＝|AB→|＝ a2－a12＋b2－b12＋c2－c12. 非零向量 (2)用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ . ②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂ α⇔ . ③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂ α⇔ . ④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔ . v1∥v2 存在两个实数 x ， y ，使 v ＝ xv1 ＋ yv2 v⊥u u1∥u2 v1⊥v2 v1·v2 ＝ 0 vu∥ u1u⊥2 u1·u2 ＝ 0 一种思想 向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化： (1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标； (2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标． 得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题． 双基自测 1．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是( )． A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定 解析 v2＝－2v1，∴v1∥v2. 答案 A 2．已知平面α内有...
