§9.8 夹角和距离公式空间直角坐标系若 a=a1i+a2j+a3kzxyojkiAOA=(x,y,z);则 a=( a1,a2,a3 )A(x,y,z)设 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)zxyojkix1y1a向量的直角坐标运算设 a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) a + b =(a1+b1,a2+b2,a3+b3)λa= （ λa1, λa2, λa3)a·b=a1b1+a2b2+a3b3a//ba1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 （ λR∈）a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0设 a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)例 1. 已知 A(3,3,1) ， B(1,0,5)求：(1) 线段 AB 的中点坐标和长度；zxyoA(3,3,1)B(1,0,5)M设 M(x,y,z) 是 AB 的中点，则 OM= (OA+OB)21AM=MB29153031222,BAd例 1. 已知 A(3,3,1) ， B(1,0,5) 求：(2) 到 A 、 B 两点距离相等的点 P(x,y,z) 的坐标 x,y,z 满足的条件 .解：设点 P 到 A 、 B 的距离相等，则2222225z0y1x1z3y)3x(化简，得 4x+6y-8z+7=0 即到 A,B 距离相等的点的坐标（ x,y,z) 满足的条件是 4x+6y-8z+7=0 例 2. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E,F 分别是 CC1,A1D1 的中点 , 求异面直线 AB 与 EF 所成的角 .AA1D1C1B1BCDEFM ∠MFE 即异面直线 AB 与 EF 所成的角例 2. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E,F 分别是 CC1,A1D1 的中点 , 求异面直线 AB 与 EF 所成的角 .解：以 D 为原点， DA,DC,DD1 分别为 x轴， y 轴， z 轴建立直角坐标系 .yxzA1D1C1B1ABCDFE例 3. 求证：如果两条直线垂直于一个平面，则这两条直线平行。已知：直线 OA⊥ 平面 α ，直线BD⊥ 平面 α ， O,B 为垂足求证： OABD∥oABDααzxyoBDAjik已知：直线 OA⊥ 平面 α ，直线 BD⊥ 平面 α ， O,B 为垂足求证： OABD∥证明：以点 O 为原点，以射线 OA 为非负 z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz ， i,j,k 为沿 x 轴，y 轴， z 轴的坐标向量，且设 BD=(x,y,z). 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α ，则称这个向量垂直于平面 α ，记作 aα⊥ 如果 aα ⊥，那么向量 a 叫做平面 α 的法向量书本第 42 页练习 1.2.3.4.5小结：(1) 两个公式：212212212,232221232221332211,coszzyyxxdbbbaaababababaBA已知： a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) (2). 向量的坐标及运算为解决线段长度及两线垂直方面的问题提供了有力和方便的工具，对于几何体中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，可将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，利用向量的方法解决。作业：书本第 43 页 6,7,8,9再见！
