专题七 实际应用问题 微切口 25 以三角为背景的应用问题 (2019·通州、海门、启东期末)如图(1)，某公园内有一块矩形绿地区域 ABCD，已知 AB＝100 m，BC＝80 m，以 AD，BC 为直径的两个半圆内种花草，其它区域种植苗木．现决定在绿地区域内修建由直路 BN，MN 和弧形路 MD 三部分组成的观赏道路，其中直路 MN 与绿地区域边界 AB 平行，直路为水泥路面，其工程造价为 2a 元/m，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为 3a 元/m，修建的总造价为 W 元，设∠NBC＝θ. (1) 求 W 关于 θ 的函数关系式； (例 1(1)) 【思维引导】 •【解答】 如图 (2) ，连接 NC ， AM ，设 AD 的中点为 Q ，连接 MQ ，过点 N 作 EN⊥BC ，垂足为 E.•由 BC 为直径知，∠ BNC ＝ 90° ，又 BC ＝80 ，∠ NBC ＝ θ ，•所以 BN ＝ 80 cos θ ， NE ＝ BN sin θ ＝ 80 sin θcos θ.•因为 MN∥AB ， AB ＝ 100 ，所以 MN ＝ AB － 2NE＝ 100 － 160sin θcos θ ， (例 1(2)) 又∠DQM＝2∠MAD＝2θ，QM＝40，所以＝40×2θ＝80θ. 因为直路的工程造价为 2a 元/m，弧形路的工程造价为 3a 元/m，所以总造价为 W＝2a(BN＋MN)＋3a ＝2a(80cos θ＋100－160sin θcos θ)＋3a·80θ ＝40a(4cos θ－8sin θcos＋6θ＋5) ＝40a(4cos θ－4sin 2θ＋6θ＋5)0＜θ＜π2 ， 所以 W 关于 θ 的函数关系式为 W＝40a(4cos θ－8sin θcos θ＋6θ＋5)0＜θ＜π2 . (2) 如何修建道路，可使修建的总造价最低？并求最低总造价． 【解答】 设 f (θ)＝4cos θ－8sin θcos θ＋6θ＋5,0<θ<π2， 则 f ′(θ)＝－4sin θ－8cos2θ＋8sin2θ＋6 ＝16sin2θ－4sin θ－2 ＝2(4sin θ＋1)(2sin θ－1)． 令 f ′(θ)＝0，得 θ＝π6， 当 θ 变化时，f ′(θ)，f (θ)的变化情况如下表： θ 0，π6 π6 π6，π2 f ′(θ) － 0 ＋ f (θ) 极小值 所以，当 θ＝π6时，f (θ)取得最小值． 此时，总造价 W 最低，且最低总造价为(200＋40π)a 元． 答：(1) W 关于 θ 的函数关系式为 W＝40a(4cos θ－8sin θcos θ＋60＋5)0＜θ＜π2 ； (2) 当 θ＝π6时，修建的总造价最低，且最低总造价为(200＋40π)a 元． (2019·南方凤...
