第 二节 等差数列重点难点 重点：等差数列的定义、通项、前 n 项的和与性质． 难点：等差数列性质的应用． 知识归纳 一、等差数列的概念 1．定义：如果一个数列从第___项起，每一项与它的___一项的差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列． 2．等差中项：如果三数 a、A、b 成等差数列，则 A叫做 a 和 b 的等差中项，即 A＝______. 二 前 a＋b2 二、等差数列的通项公式 等差数列{an}的通项 an＝a1＋______d＝am＋______d. 推导方法：累加法 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1. 三、等差数列的前 n 项和公式 等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝_______＝______________. 推导方法：倒序相加法． (n－1) (n－m) na1＋an2 na1＋nn－12d 四、用函数观点认识等差数列 1．an＝nd＋(a1－d)(一次函数)． 2．Sn＝d2n2＋(a1－d2)n(常数项为零的二次函数)． 五、等差数列的判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔ {an}是等差数列，证明一个数列为等差数列，一般用定义法； (2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔ {an}是等差数列； (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b 是常数)(n∈N*)⇔ {an}是等差数列； (4)前 n 项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B 是常数)(n∈N*)⇔ {an}是等差数列． (5){an}是等差数列⇔ {Snn }是等差数列． 六、等差数列的性质 1．下标和与项的和的关系 在等差数列中，若 p＋q＝m＋n，则有 ap＋aq＝am＋an；若 2m＝p＋q，则有 ap＋aq＝____，(p，q，m，n∈N*)． 2．任意两项的关系 在等差数列{an}中，m、n∈N*，则 am－an＝(m－n)d或 am＝an＋(m－n)d 或am－anm－n ＝d. 2am 3．在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差列，即 an，an＋m，an＋2m，…为等差数列，公差为 md. 等差数列的依次 n 项和也构成一个等差数列，即 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，……为等差数列，公差为 n2d. 即下标成等差的项成等差数列，下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列． 4．设等差数列{an}的公差为 d，那么 (1)d>0⇔ {an}是递增数列，Sn有最小值；d<0⇔ {an}是递减数列，Sn 有最大值；d＝0⇔ {an}是常数数列． (2)数列{λan＋b}仍为等差数列，公差为 λd. (3)若{bn}，{an}都是等差数列，则{an±bn}仍为等差数列． (5)若{an}与{bn}为等差数列，且前 n 项和分别为 Sn与 S′n，则ambm＝________. S2m－1S′2m－1 ...
