——“ 数列”专题提能课专 题 提 能四讲第防止思维定式，实 现 “ 移 花 接木”提能点 ( 一 )失误 1因忽视对 n ＝ 1 的检验而失误[例 1] 已知数列{an}的前 n 项之和为 Sn＝n2＋n＋1，则数列{an}的通项公式为________． [解析] 当 n＝1 时，a1＝S1＝3. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n， ∴an＝3，n＝1，2n，n≥2. [答案] an＝3，n＝1，2n，n≥2 [点评] 在对数列的概念的理解上，仅注意了 an＝Sn－Sn－1，导致出现错误答案 an＝2n.已知 Sn求 an 时，要注意进行分类讨论，能合则合，反之则分． 失误 2因不会设项而解题受阻[例 2] 已知一个等比数列{an}的前 4 项之积为 116，第 2，3项的和为 2，则数列{an}的公比 q＝________． [解析] 设数列{an}的前 4 项分别为 a，aq，aq2，aq3， 则a4q6＝ 116，aq＋aq2＝ 2，可得a4q6＝ 116，a4q4（1＋q）4＝4， 所以(1＋q)4＝64q2， 当 q>0 时，可得 q2－6q＋1＝0，解得 q＝3±2 2， 当 q<0 时，可得 q2＋10q＋1＝0，解得 q＝－5±2 6. 综上，q＝3±2 2或 q＝－5±2 6. [答案] 3±2 2或－5±2 6 [点评] 一般地，在乘积已知的条件下，三个数成等比数列时，可将此三个数分别设为aq，a，aq；四个数成等比数列时，可将此四个数分别设为 a，aq，aq2，aq3，不要设为 aq3，aq，aq，aq3.公比为负数的等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同． 失误 3因忽视公比 q 的讨论而失分[例 3] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S3＋S6＝2S9，求数列的公比 q. [解] 若 q＝1，则有 S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，但 a1≠0，即得 S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故 q≠1.又依题意 S3＋S6＝2S9 ⇒a1（1－q3）1－q＋a1（1－q6）1－q＝2· a1（1－q9）1－q ⇒ q3(2q6－q3－1)＝0，即(2q3＋1)(q3－1)＝0，因为 q≠1，所以 q3－1≠0，所以 2q3＋1＝0.解得 q＝－3 42 . [点评] 在等比数列中，a1≠0 是显然的，但公比 q完全可能为 1，因此，在解题时应先讨论公比 q＝1 的情况，再在 q≠1 的情况下，对式子进行整理变形． 提 能 点( 二 ) 灵活运用策略，尝试“借石攻玉”策略 1构造辅助数列法：妙求数列的通项公式[例 1] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ anan＋3(n∈N *)，则数列{an}的通项公式为________． [解析] 因为 an＋1＝ anan＋3(n...
