专题19《中点模型》 破解策略 1．倍长中线 在△ABC 中．M 为BC 边的中点． MECBA EMCABD 图1 图2 （1）如图1，连结AM 并延长至点F，使得ME＝AM．连结CE．则△ABM≌△ECM． （2）如图2，点D 在AB 边上，连结DM 并延长至点E．使得MF＝DM．连结CE，则△BDM≌△CEM， 遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法． 2．构造中位线 在△ABC 中．D 为AB 边的中点， ABDEC CFABD 图1 图2 （1）如图1，取AC 边的中点E，连结DE．则DE∥BC，且DF＝12BC． （2）如图2．延长BC 至点F．使得CF＝BC．连结CD，AF．则DC∥AF，且DC＝12AE． 三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来．通常需要再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线， 3．等腰三角形“三线合一” 如图，在△ABC 中，若AB＝AC．通常取底边BC 的中点D．则AD⊥BC，且AD 平分∠BAC． 事实上，在△ABC 中：①AB＝AC；②AD 平分∠BAC；③BD＝CD，④AD⊥BC． 对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”． ABDC 例题讲解 例1 如图，在四边形ABCD 中，E、F 分别是AB、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F作CD 的垂线，两垂线交于点G，连结AG、BG、CG 且∠AGD＝∠BGC，若AD、BC 所在直线互相垂直，求ADEF的值 解 由题意可得△AGB 和△DGC 为共顶点等顶角的两个等腰三角形， 所以△AGD≌△BGC，△AGD∽△EGF． 方法一：如图1，连结CE 并延长到H，使EH＝EC，连EH、AH，则 AH∥BC，AH＝BC，而AD＝BC，AD⊥BC 所以AD＝AH，AD⊥AH，连结DH，则△ADH 为等腰直角三角形，又因为E、F 分别为CH、CD的中点，所以=212ADADEFDH 方法二：如图2，连结BD 并取中点H，连结EH，FH．则EH＝12AD，且EH∥AD，FH＝12BC， 而AD＝BC，AD⊥BC，所以△EHF 为等腰直角三角形，所以2=2ADEHEFEF 例2 如图，在△ABC 中，BC＝22，BD⊥AC 于点D，CE⊥AB 于E，F、G 分别是BC、DE 的中点，若ED＝10，求FG 的长． 解：连结EF、DF，由题意可得EF、DF 分别为RT△BEC，RT△BDC 斜边的中线，所以DF＝EF＝12BC＝11，而G 为DE 的中点，所以DG＝EG＝5，FG⊥DE，所以RT△FGD 中，FG＝22DFDG＝4 6 例3 已知：在RT△ACB 和RT△AEF 中，∠ACB＝∠AEF＝900，若P...
