七年级上数学思维拓展训练第一章兴趣数学七桥问题（一笔画问题）18 世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥
如图1 所示：河中的小岛 A与河的左岸 B、右岸 C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与 A、B、C各有一座桥相连结
当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点
大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题
七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707— 1783）的关注
他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f 、g 各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点
欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形
这就是说，七桥问题是无解的
这个结论是如何产生呢
如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结
如果画笔经过一个n 次，那么就有 2n 条线与该点相连结
因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连
图 2 中的 A点与 5 条线相连结， B、C、D各点各与 3 条线相连结，图中有 4 个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形
欧拉定理：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0 或 2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出
一笔画：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成
