2012 年信息安全数学基础期末考试试题1 证明：如果是整数，则能被 3 整除。2 用广义欧几里德算法求最大公因子3 设是一个正整数，，如果，证明：。4 解方程5 解方程组6 计算 3 模 19 的指数。7、计算的 Legendre符号8 证明： 91 是对基 3 的拟素数。9 设是群到的一个同态，，其中是的单位元。证明：是的子群。10 设是群的一个元素。证明：映射是到自身的自同构。2012 年信息安全数学基础期末考试试题答案1 证明：因为 a3-a=(a-1)a(a+1) 当 a=3k，kZ 3|a 则 3|a3-a 当 a=3k-1，kZ 3|a+1 则 3|a3-a 当 a=3k+1，kZ 3|a-1 则 3|a3-a 所以 a3-a 能被 3 整除。2. 12075=2*4655+2765 4655=1*2765+1890 2765=1*1890+875 1890=2*875+140 875=6*140+35 140=4*35 所以=353. 因为 d|m，所以存在整数使得。又因为，所以存在整数使得。该式又可以写成。故。4. 计算最大公因式 (987,2668)=1，所以原同余式有解且只有一个解。利用广义欧几里德除法，求同余式的解为。再写出同余式的解为。5 令，，。分别求解同余式（i=1,2,3）得到，，。故同余式的解为6 解：因为(19)=18, 所以只需对18 的因数 d=1,2,3,6,9,18计算 ad(mod12) 因为 31≡3, 32≡9, 33≡8, 36≡7, 39≡-1, 218≡ 1(mod13) 所以 3 模 19 的指数为18；7 8 证明：因为91=13*7 是奇合数， (3,91)=1 又 36=729≡1(mod91) 则 391-1=390≡(36)15≡1(mod91) 则 91 是对于基 3 的拟素数。9 对任意，有，从而，。因此，，是群的子群。10 证明：（ 1）任取。计算因此是同态映射。（2）若，且。那么，从而，因此是单射。（3）任取。由于，故是满射。综上所述，映射是到自身的自同构。
