一. 填空题(理工类) 1. , 则 = _______. 解. , 假设 , 则 , 所以 2. 设 , 则 ______. 解. , 3. 设函数 y = y(x)由方程 确定, 则 ______. 解. , 所以 4. 已知 f(－x) =－f(x), 且 , 则 ______. 解. 由 f(－x) =－f(x)得 , 所以 所以 5. 设 f(x)可导, 则 _______. 解. = + = 6. 设 , 则k = ________. 解. , 所以 所以 7. 已知 , 则 _______. 解. , 所以 . 令x2 = 2, 所以 8. 设f 为可导函数, , 则 _______. 解. 9. 设y = f(x)由方程 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______. 解. 上式二边求导 . 所以切线斜率 . 法线斜率为 , 法线方程为 , 即 x－2y + 2 = 0. 二. 单项选择题(理工类) 1. 设 f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 则 f(0) = 0 是 F(x)在 x = 0 处可导的 (a) 充分必要条件 (b) 充分但非必要条件 (c) 必要但非充分条件 (d) 既非充分又非必要条件 解. 必要性: 存在, 所以 = , 于是 = = = = = = 所以 , 2f(0) = 0, f(0) = 0 充分性: 已知 f(0) = 0, 所以 = = = = = = = = 所以 存在. (a)是答案. 2. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且 , 则当n 为大于2 的正整数时, f(x)的n 阶导数是 (a) (b) (c) (d) 解. , 假设 = , 所以 = , 按数学归纳法 = 对一切正整数成立. (a)是答案. 3. 设函数对任意x 均满足 f(1 + x) = af(x), 且 b, 其中 a, b 为非零常数, 则 (a) f(x)在x = 1 处不可导 (b) f(x)在x = 1 处可导, 且 a (c) f(x)在x = 1 处可导, 且 b (d) f(x)在x = 1 处可导, 且 ab 解. 在f(1 + x) = af(x)中代入 = , 所以. (d)是答案 注: 因为没有假设 可导, 不能对于 二边求导. 4. 设 , 则使 存在的最高阶导数 n 为 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解. . 所以n = 2, (c)是答案. 5. 设函数 y = f(x)在点 x0处可导, 当自变量 x 由 x0增加到 x0 + x 时, 记y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, 等于 (a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) 解. 由微分定义y = dy + o(x), 所以 . (b)是答案. 6. 设 在 x = 0 处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d...
