课时分层作业(十九) 空间向量与垂直关系(建议用时：60 分钟)一、选择题1．设直线 l1的方向向量为 a＝(2,1，－2)，直线 l2的方向向量为 b＝(2,2，m)，若 l1⊥l2，则 m等于( )A．1 B．－2C．－3 D．3D [l1⊥l2⇒a⊥b⇒2×2＋1×2＋(－2)×m＝0．∴m＝3．]2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且 BP⊥平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为( )A．，－，4 B．，－，4C．，－2,4 D．4，，－15B [ AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即 3＋5－2z＝0，得 z＝4，又 BP⊥平面 ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，则解得]3．已知平面 α 上的两个向量 a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面 α 的一个法向量为( )A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)C [显然 a 与 b 不平行，设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)，则∴令 z＝1，得 x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)．]4．已知点 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点 D 满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点 D的坐标为( )A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)或C．D．(1,1,1)或D [设 D(x，y，z)，则BD＝(x，y－1，z)，CD＝(x，y，z－1)，AD＝(x－1，y，z)，AC＝(－1,0,1)，AB＝(－1，1,0)，BC＝(0，－1,1)．又DB⊥AC⇔－x＋z＝0，①DC⊥AB⇔－x＋y＝0，②AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2，③联立①②③得 x＝y＝z＝1 或 x＝y＝z＝－，所以点 D 的坐标为(1,1,1)或．故选 D．]5．如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 A1D，AC 上，且 A1E＝A1D，AF＝AC，则( )A．EF 至多与 A1D，AC 之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF 与 BD1相交D．EF 与 BD1异面B [建立分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为 1，则DA1＝(1,0,1)，AC＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，E，F，EF＝，∴EF·DA1＝0，EF·AC＝0，∴EF⊥A1D，EF⊥AC．]二、填空题6．已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．给出下列结论：① AP⊥AB；② AP⊥AD；③AP是平面 ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．①②③ [AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB⊥AP，则AB⊥AP．AD·AP＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP⊥AD，则 AP⊥AD．又 AB∩AD＝A，∴AP⊥平面 ABCD，故AP是平面 ABCD 的一个法向量．]7．已知 ...
