3.2.3 空间向量与空间角 (建议用时：40 分钟)一、选择题1．若异面直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为 150°，则 l1与 l2所成的角为( )A．30° B．150°C．30°或 150°D．以上均不对【答案】A [l1与 l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选 A．]2．已知二面角 αlβ 的两个半平面 α 与 β 的法向量分别为 a，b，若〈a，b〉＝，则二面角αlβ 的大小为( )A． B．C．或 D．或【答案】C [由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面 α 与 β 的法向量都有两个方向，因此二面角 αlβ 的大小为或，故选 C．]3.如图 3227，空间正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 CD，CC1的中点，则异面直线 A1M 与DN 所成角的大小是( )图 3227A． B． C． D．【答案】D [以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，则A1M＝，DN＝，cos〈A1M，DN〉＝＝0.∴〈A1M，DN〉＝.]4．已知在正四面体 ABCD 中，E 为棱 AD 的中点，则 CE 与平面 BCD 的夹角的正弦值为( )A． B． C． D．【答案】B [作 AO⊥平面 BCD 于点 O，则 O 是△BCD 的中心，以 O 为坐标原点，直线 OD 为 y轴，直线 OA 为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设 AB＝2，则 O(0,0,0)，A，C，E，∴OA＝，CE＝，∴cos〈OA，CE〉＝＝＝.∴CE 与平面 BCD 的夹角的正弦值为.]基础篇15．如图 3228 所示，已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且 PA⊥平面 ABCD，PA＝AD＝AC，点 F 为 PC 的中点，则二面角 CBFD 的正切值为( )图 3228A． B． C． D．【答案】D [如图所示，设 AC 与 BD 交于点 O，连接 OF.以 O 为坐标原点，OB，OC，OF 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.设 PA＝AD＝AC＝1，则 BD＝，所以 O(0,0,0)，B，F，C，OC＝，易知OC为平面 BDF 的一个法向量，由BC＝，FB＝，可得平面 BCF 的一个法向量为 n＝(1，，)．所以 cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝，所以 tan〈n，OC 〉＝. 故二面角 CBFD 的正切值为.]二、填空题6．若直线 l 的方向向量 a＝(－2,3,1)，平面 α 的一个法向量 n＝(4,0,1)，则直线 l 与平面 α 所成角的正弦值为________．【答案】 [由题意，得直线 l 与平面 α 所成角的正弦值为＝＝.]7．已知点 E，F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1，CC1上，且...
