（新课标）高考数学一轮总复习 第七章 立体几何 7-6 空间向量及其应用课时规范练 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

7-6 空间向量及其应用课时规范练(授课提示：对应学生用书第 297 页)A 组 基础对点练1．如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，平面 ABB1A1为矩形，AB＝BC＝1，AA1＝，D 为 AA1的中点，BD 与 AB1交于点 O，BC⊥AB1.(1)证明：CD⊥AB1；(2)若 OC＝，求二面角 A－BC－B1的余弦值．解析：(1)证明：由△AB1B 与△DBA 相似，知 DB⊥AB1，又 BC⊥AB1，BD∩BC＝B，∴AB1⊥平面 BDC，CD⊂平面 BDC，∴CD⊥AB1.(2)由于 OC＝，BC＝1，在△ABD 中，可得 OB＝，∴△BOC 是直角三角形，BO⊥CO.由(1)知 CO⊥AB1，则 CO⊥平面 ABB1A1.以 O 为坐标原点，OA，OD，OC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则 A，B，C，B1，BC＝，AB＝，BB1＝.设平面 ABC，平面 BCB1的法向量分別为 n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则不妨取 n1＝(，－1，)，n2＝(1，，－2)，∴cos〈n1，n2〉＝＝－，又二面角 A－BC－B1为钝二面角，∴二面角 A－BC－B1的余弦值为－.2．(2018·高考江苏卷)如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AA1＝2，点 P，Q 分别为A1B1，BC 的中点．(1)求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；(2)求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值．解析：如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，设 AC，A1C1的中点分别为 O，O1，则 OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系 O－xyz.因为 AB＝AA1＝2，所以 A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．(1)因为 P 为 A1B1的中点，所以 P，从而BP＝，AC1＝(0,2,2)，故|cos〈BP，AC1〉|＝＝＝.因此，异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为.(2)因为 Q 为 BC 的中点，所以 Q，因此AQ＝，AC1＝(0,2,2)，CC1＝(0,0,2)．设 n＝(x，y，z)为平面 AQC1的一个法向量，则即不妨取 n＝(，－1,1)，设直线 CC1与平面 AQC1所成角为 θ，则 sin θ＝|cos 〈CC1，n〉|＝＝＝，所以直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为.3．如图，三棱柱 ABC－A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若 AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角 A－A1B1－C1的余弦值．解析：(1)证明：连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO.因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1C⊥BC1，且 O 为 B1C 及 BC1的中点．又 AB⊥B1C，AB∩BO＝B，所以 B1C⊥平面 ABO.由于 AO⊂平面 ABO，故 B1C⊥AO.又 B1O...