大题考法专训（四） 概率与统计A 级——中档题保分练1．(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P(C)的估计值为 0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解：(1)由已知得 0.70＝a＋0.20＋0.15，解得 a＝0.35，所以 b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.2．(2019·天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为，故 X～B，从而 P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.所以随机变量 X 的分布列为X0123P随机变量 X 的数学期望 E(X)＝3×＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为 Y，则 Y～B，且 M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知，事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝×＋×＝.3．某商店为迎接端午节，推出花生粽与肉粽两款粽子．为调查这两款粽子的受欢迎程度，店员连续 10 天记录了这两款粽子的销售量，用 1,2，…，10 分别表示第 1,2，…，10 天，记录结果得到频数分布表如下所示(其中销售量单位：个). 12345678910花...
