课时跟踪检测（三十三） 数列的综合应用一保高考，全练题型做到高考达标1．在数列{an}中，a1＝1，数列{an＋1－3an}是首项为 9，公比为 3 的等比数列．(1)求 a2，a3；(2)求数列的前 n 项和 Sn.解：(1) 数列{an＋1－3an}是首项为 9，公比为 3 的等比数列，∴an＋1－3an＝9×3n－1＝3n＋1，∴a2－3a1＝9，a3－3a2＝27，∴a2＝12，a3＝63.(2) an＋1－3an＝3n＋1，∴－＝1，∴数列是首项为，公差为 1 的等差数列，∴数列的前 n 项和 Sn＝＋＝.2．(2016·苏北四市调研)已知数列{an}为等差数列，a1＝1，公差 d>0，数列{bn}为等比数列，且 a2＝b1，a6＝b2，a18＝b3.(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足对任意正整数 n 均有＋＋…＋＝a，m 为正整数，求所有满足不等式1020，a1＝1，{an}为等差数列，所以 a1＝d＝1，an＝n，又 b1＝2，b2＝6，b3＝18，{bn}为等比数列，所以 bn＝2·3n－1.(2)因为＋＋…＋＝n2，当 n＝1 时，＝，c1＝1，当 n≥2 时，两式相减得 cn＝(2n－1)·3n－1，又 n＝1 时也符合上式，所以 cn＝(2n－1)·3n－1，n∈N*，cn＝(2n－1)·3n－1>0，c1＝1，c1＋c2＝10，c1＋c2＋c3＝55，c1＋c2＋c3＋c4＝244，c1＋c2＋c3＋c4＋c5＝973，c1＋c2＋c3＋c4＋c5＋c6＝3 646，所以 m＝4 或 5.3．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，S3＝6，正项数列{bn}满足 b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若 λbn>an对 n∈N*均成立，求实数 λ 的取值范围．解：(1) a1＝1，S3＝6，∴3a1＋3d＝6，∴数列{an}的公差 d＝1，an＝n.由题知，①÷② 得 bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，又 b1＝2S1＝21＝2，满足上式，故 bn＝2n.(2)λbn>an恒成立⇒λ>恒成立，设 cn＝，当 n≥2 时，cn<1，数列{cn}单调递减，1∴(cn)max＝，故 λ>.所以实数 λ 的取值范围为.4．数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前 n 项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设 cn＝，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，证明：≤Tn<.解：(1)由题意知，{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，∴an＝a1·2n－1＝2n－1.∴Sn＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为 d，则 b1＝a...
