二、跳出题海——名师绝招破解 13 大难点难点 1 构造法解 f(x)与 f'(x) 均存在的问题高考中有一难点,即不给出具体的函数解析式,而是给出函数 f(x)及其导数满足的条件,需要据此条件构造抽象函数,再根据条件得出构造函数的单调性,应用单调性解决问题的题目,该类题目具有一定的难度,下面总结其基本类型及其处理方法.类型一 f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型典例 1 (1)设 f '(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数, f(-1)=0,当 x>0 时,xf '(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)(2)设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 . 答案 (1)A (2)(-∞,-3)∪(0,3)解析 (1)令 g(x)=,则 g'(x)=,由题意知,当 x>0 时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数. f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0,∴g(1)==0,∴当 x∈(0,1)时,g(x)>0,从而 f(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而 f(x)<0.又 f(x)是奇函数,∴当 x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当 x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上,所求 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).(2)借助导数的运算法则, f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0⇔[f(x)g(x)]'>0,所以函数 y=f(x)g(x)在(-∞,0)上单调递增.又由分析知函数 y=f(x)g(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,且过点(-3,0), (0,0),(3,0).数形结合可求得不等式 f(x)g(x)<0 的解集是(-∞,-3)∪(0,3).点拨 (1)对于不等式 f '(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=f(x)+g(x);(2)对于不等式 f '(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=f(x)-g(x);特别地,对于不等式 f '(x)>k(或0(或<0),构造函数 F(x)=f(x)g(x);(4)对于不等式 f '(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=(g(x)≠0);(5)对于不等式 xf '(x)+f(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=xf(x);(6)对于不等式 xf '(x)-f(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=(x≠0).1.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且对任意的 x∈R 都有 f'(x)< ,则不等式 f(x2)>的解集为( )A.(1,2) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(-1,1)2.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf'(x)+f(x)≤0.对任意正数 a,b,若 a
