§1 柯西不等式课后篇巩固探究A 组1.若 a2+b2=2,则 a+b 的最大值为( )A.1B.C.2D.4解析:由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,当且仅当 a=b=1 时等号成立,所以-2≤a+b≤2,即 a+b 的最大值为 2.答案:C2.若 x2+y2+z2=1,则 x+y+z 的最大值等于( )A.2B.4C.D.8解析:由柯西不等式可得[12+12+()2](x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,即(x+y+z)2≤4,当且仅当 x= ,y=,z=时等号成立,因此 x+y+z≤2,即 x+y+z 的最大值等于 2.答案:A3.设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=9,则的最小值为( )A.81B.49C.9D.7解析:由柯西不等式可得(a+b+c)·81=9,当且仅当,即 a=2,b=3,c=4 时等号成立,故所求最小值为 9.答案:C4.函数 y=+2的最大值是( )A.B.C.3D.5解析:根据柯西不等式,知 y=1×+2×1≤,当且仅当=2,即 x=时,等号成立.答案:B5.设 a,b∈R,且 a2+b2=5,则 3a+b 的最小值为( )A.5B.-5C.-50D.-5解析:令 α=(a,b),β=(3,1),则 α·β=3a+b,|α|=,|β|=.由柯西不等式的向量形式可得|α·β|≤|α||β|,所以|3a+b|≤=5,当且仅当 a=,b=时等号成立,因此-5≤3a+b≤5,即 3a+b 的最小值为-5.答案:D6.设 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=9,则的最小值为 . 解析:因为(a+b+c)=[()2+()2+()2]=18,当且仅当 a=b=c=3 时等号成立,所以≥2,故的最小值为 2.答案:27.设 a,b,c,d,m,n 都是正实数,P=,Q=,则 P 与 Q 的大小关系是 . 2解析:P=≤==Q当且仅当时,等号成立.答案:P≤Q8.已知 a,b,m,n 均为正实数,且 a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为 . 解析:由柯西不等式,得(am+bn)(bm+an)≥()2=mn(a+b)2=2,当且仅当 m=n=时,等号成立.故(am+bn)(bm+an)的最小值为 2.答案:29.已知 a,b,c 为正实数,且满足 acos2θ+bsin2θ0,2-b>0,所以=2,当且仅当 a=b=1 时等号成立.故原不等式成立.B 组1.若实数 x+y+z=1,则 2x2+y2+3z2的最小值为( ) A.1B.6C.11D.解析: (2x2+y2+3z2)≥=(x+y+z)2=1,∴2x2+y2+3z2≥,当且仅当 x=,y=,z=时,等号成立.∴2x2+y2+3z2的最小值为.答案:D2.若长方形 ABCD 是半径为 R 的圆的内接长方形,则长方形 ABCD 周长的最大值为( )A.2RB.2RC.4RD.4R4解析:如图,设内接长方形 ABCD 的长...
