3.1.1 空间向量的线性运算课时过关·能力提升1.已知 λ∈R,a 为非零向量,则下列结论正确的是( )A.λa 与 a 同向B.|λa|=λ|a|C.λa 可能是 0D.|λa|=|λ|a答案:C2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算的结果为向量⃗AC1的共有()①⃗AB+⃗BC +⃗CC1②⃗A A1+⃗A1 D1+⃗D1C1③⃗AB+⃗B B1+⃗B1C1④⃗A A1+⃗A1B1+⃗B1C1A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案:D3.在平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中,M 为平行四边形 BB'C'C 的中心,N 为棱 CC'的中点,则⃗AB+ 12⃗AD+ 12⃗CC '=()A.⃗AC 'B.⃗AN C.⃗AM D.2⃗MN答案:C4.已知空间四边形 ABCD,连接 AC,BD,设 M 是 BC 的中点,G 为 CD 上一点,则⃗AB+ 12⃗BC+⃗MG等于()A.⃗AG B.⃗CGC.⃗BC D . 12⃗BC答案:A1★5.已知点 G 是正方形 ABCD 的中心,P 为正方形 ABCD 所在平面外的一点,则⃗PA +⃗PB+⃗PC+⃗PD等于()A.3⃗PG B.2⃗PGC.⃗PG D .4⃗PG答案:D6.化简:(⃗AB−⃗CD)−(⃗AC−⃗BD)=.答案:07.化简: 12 ¿a+2b-3c)+5(23 a- 12 b+ 23 c)−3¿a-2b+c)= . 答案: 56 a+ 92 b−76 c8.在平行六面体 ABCD-EFGH 中,⃗AG=x⃗AC+ y⃗AF+z⃗AH ,则 x+ y+z=.解析:因为⃗AG=⃗AB+⃗AD+⃗AE ,所以⃗AG=⃗AB+⃗AD+⃗AE=x(⃗AB+⃗AD)+ y(⃗AB+⃗AE)+ z(⃗AE+⃗AD),所以⃗AG=(x+ y)⃗AB+(x+z)⃗AD+( y+z)⃗AE,所以 x+y=x+z=y+z=1,所以 x+y+z¿ 32 .答案: 32★9.已知 ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为 E,点 F 为 D'C'上一点,且 D'F¿ 23 D ' C' .(1)化简: 12⃗AA '+⃗BC +23⃗AB ;(2)设 M 是底面 ABCD 的中心,N 是侧面 BCC'B'对角线 BC'上的 34 分点,设⃗MN=α⃗AB+β⃗AD+γ⃗AA ',试求α ,β ,γ 的值.解:(1)由 AA'的中点为 E,得 12⃗AA '=⃗EA ',2又⃗BC=⃗A' D ',D ' F=23 D ' C' ,因此 23⃗AB=23⃗D 'C '=⃗D 'F .从而 12⃗AA '+⃗BC+ 23⃗AB=⃗EA '+⃗A 'D '+⃗D 'F=⃗EF .(2¿⃗MN=⃗MB+⃗BN=12⃗DB+ 34⃗BC '=12(⃗DA+⃗AB)+ 34 (⃗BC+⃗CC ')=12(−⃗AD+⃗AB)+ 34 (⃗AD+⃗AA ')=12⃗AB+ 14⃗AD+ 34⃗AA ',因此 α¿ 12 , β=14 ,γ=34 .3
