高中数学 课时跟踪检测（十）反证法（含解析）北师大版选修1-2-北师大版高二选修1-2数学试题VIP免费

课时跟踪检测（十）反证法1．命题“关于 x 的方程 f(x)＝0 有唯一解”的结论的否定是( )A．无解 B．两解C．至少有两解 D．无解或至少有两解答案：D2．用反证法证明命题“如果 a，b∈N，ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为( )A．a，b 都能被 5 整除 B．a，b 都不能被 5 整除C．a，b 不都能被 5 整除 D．a 不能被 5 整除解析：选 B “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b 都不能被 5 整除”，故选 B.3．下列命题错误的是( )A．三角形中至少有一个内角不小于 60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数 f(x)至多有一个零点D．设 a，b∈Z，若 a，b 中至少有一个为奇数，则 a＋b 是奇数解析：选 D a＋b 为奇数⇔a，b 中有一个为奇数，另一个为偶数．故 D 错误．4．设 a，b，c 为正实数，则 3 个数 a＋，b＋，c＋中( )A．都大于 2 B．都小于 2C．至少有一个不大于 2 D．至少有一个不小于 2解析：选 D 若三个数都小于 2，则 a＋＋b＋＋c＋<6，而＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，矛盾．5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为 180°矛盾，故假设错误．② 所以一个三角形不能有两个直角．③ 假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②6．和两条异面直线 AB，CD 都相交的两条直线 AC，BD 的位置关系是________．解析：假设 AC 与 BD 共面于平面 α，则 A，C，B，D 都在平面 α 内，∴ABα，CDα，这与AB，CD 异面相矛盾，故 AC 与 BD 异面．答案：异面7．如果非零实数 a，b，c 两两不相等，且 2b＝a＋c，证明：＝＋不成立．证明：假设＝＋成立，则＝＝，故 b2＝ac，又 b＝，所以 2＝ac，即(a－c)2＝0，a＝c.这与 a，b，c 两两不相等矛盾．因此＝＋不成立．8．求证：不论 x，y 取任何非零实数，等式＋＝总不成立．证明：设存在非零实数 x，y，使得等式＋＝总成立．则有＝，(x＋y)2＝xy，x2＋xy＋y2＝0.1因为 x，y 是非零实数，所以 x2＋xy＋y2＝2＋>0，这与 x2＋xy＋y2＝0 矛盾．所以，不论x ，y 取任何非零实数，等式＋＝总不成立．9.如图所示，在△ABC 中，AB>AC，AD 为 BC 边上的高线，AM 是 BC 边上的中线．求证：点 M不在线段 CD 上．证明：假设点 M 在线段 CD 上，则 BDAC 矛盾．∴点 M 不在线段 CD 上．23