高中数学 第 2 章 推理与证明 2.2.2 反证法互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导1.间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反命题为假，或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的.反证法是间接证明的一种基本方法. 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若 p 则 q”，而是先肯定命题的条件 p，并否定命题的结论 q，即从原题的反命题“既 p 又q”入手，由 p 与q 合乎逻辑地推出一个矛盾结果;根据矛盾律，两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假，断定反命题“既 p 又q”为假;从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真.由此肯定命题“若 p 则 q”为真.可以看出，反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路.反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论.2.用反证法证明命题“若 p 则 q”，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下. 否定结论 q导致逻辑矛盾“既 p 又q”为假“若 p 则 q”为真. 应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤： 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论; 第二步：作出与命题结论 q 相矛盾的假定q； 第三步：由 p 和q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果; 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定q 不真，于是原结论 q 成立，从而间接地证明了命题 p→q 为真. 第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.3.使用反证法证明问题时，准确地做出反设(即否定结论)，是正确运用反证法的前提，现将常见的“结论词与反设词”列表如下：原 结论词等 于(=)大 于(＞)小 于(＜)对 所有x成立对 任意x不 成立至 少一个至 多一个至 少n 个至 多n 个p或qp且q反 设词不 等于(≠)不 大于(≤)不 小于(≥)存 在某 个x不成立存 在某 个x成立一 个都 没有至 少两个至 多n-1个至 少n+1个┐p且┐q┐p或┐q案例 用反证法证明：已知 a、b 均为有理数，且和都是无理数，求证：是无理数.【探究】可设为有理数，利用实数运算法则得出矛盾.证明：假设为有理数，则()()=a-b. 由 a＞0,b＞0 得＞...
