3.3 计算导数[基础达标]1.已知函数 f(x)＝，则 f′(2)＝( )A．4 B.C．－4 D．－解析：选 D.f(x)＝x－2，f′(x)＝－2x－3，f′(2)＝－2×2－3＝－2－2＝－.2.已知函数 f(x)＝cos x，f′(x)＝－1，则 x＝( )A. B．－C.＋2kπ，k∈Z D．－＋2kπ，k∈Z解析：选 C.f′(x)＝－sin x，则 sin x＝1，∴x＝＋2kπ，k∈Z.曲线 y＝xn(n∈N＋)在 x＝2 处的导数为 12，则 n 等于( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选 C. y′＝nxn－1，∴函数 y＝xn(x∈N＋)在 x＝2 处的导数为 n·2n－1＝12，∴n＝3.已知 f(x)＝ln x，则 f(1)＋f′(1)＝( )A．1 B．－2C．0 D．2解析：选 A.f(1)＝ln 1＝0，f′(x)＝，f′(1)＝1，∴f(1)＋f′(1)＝0＋1＝1.若对任意 x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则 f(x)＝( )A．x4 B．x4－2C．4x3－5 D．x4＋2解析：选 B.设 f(x)＝xn＋c，则 f′(x)＝nxn－1＝4x3，∴n＝4，∴f(1)＝1＋c＝－1，∴c＝－2，故 f(x)＝x4－2.设正弦曲线 y＝cos x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的范围是________．解析：kl＝(cos x)′＝－sin x∈[－1，1]，又倾斜角范围是[0，π)，∴倾斜角范围是[0，]∪[，π)．答案：[0，]∪[，π)若指数函数 f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足 f′(1)＝ln 27，则 f′(－1)＝________．解析：f′(x)＝axln a，f′(1)＝aln a＝3ln 3，∴a＝3，故 f′(－1)＝3－1ln 3＝.答案：8.已知 f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若 f′(x)－g′(x)＝1，则 x＝________．解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝，由题意 2x－＝1，即 2x2－x－1＝0，∴x＝1 或 x＝－(舍)．答案：19.求曲线 y＝与抛物线 y＝的交点坐标，并分别求在交点处的两曲线的切线的斜率．解：由，得＝，∴x3＝1，∴x＝1，∴y＝1，∴两曲线的交点坐标为(1，1)．由 y＝，得 y′＝(x－1)′＝－x－2，∴该曲线在点(1，1)处的切线的斜率 k1＝y′|x＝1＝－1.又由 y＝，得 y′＝(x)′＝x－，∴该曲线在点(1，1)处的切线的斜率 k2＝y′|x＝1＝.10.若曲线 f(x)＝acos x 与曲线 g(x)＝x2＋bx＋1 在交点(0，m)处有公切线，求 a－b 的值．解：依题意得：f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，于是有 f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，∴b＝0.m＝f(0)＝g(0)＝1，即 m＝a＝1，因此 a－b＝1.[能力提升]设 f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则 f...
