同步测试卷理科数学(八) 【p299】(平面向量、复数的概念及运算)时间：60 分钟 总分：100 分一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数 1＋(i 是虚数单位)的模等于( )A．4 B．5 C．2D．2【解析】1＋＝1＋＝1＋1＋2i＝2＋2i，则它的模等于＝2.【答案】C2．已知向量 a＝，b＝，则“m＝1”是“a∥b”成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】当 m＝1 时，a＝b 可以推出 a∥b；当 a∥b 时，＝m2＝1，m＝±1，不能推出m＝1.所以，“m＝1”是“a∥b”成立的充分不必要条件．【答案】A3．在复平面上，复数 z1，z2对应的点关于直线 y＝x 对称，且 z1z2＝4i，则复数 z1的模长为( )A．2 B. C. D．1【解析】设 z1＝a＋bi，则 z2＝b＋ai，由 z1z2＝4i，可知 a2＋b2＝4，所以＝＝2.【答案】A4．如图，已知AB＝a, AC＝b, DC＝3BD，AE＝2EC，则DE＝( )A.b－aB.a－bC.a－bD.b－a【解析】由平面向量的三角形法则可知：DE＝DC＋CE＝BC＋＝(AC－AB)－AC＝－AB＋AC＝－a＋b.【答案】D5．已知不共线向量 a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则 a＋b 与 a 的夹角是( )A. B. C. D.【解析】法一：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，∴a·b＝|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，∴|a＋b|＝|a|.设 a 与 a＋b 的夹角为 θ，则 cos θ＝＝＝，∴θ＝.法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，以 OA、OB为邻边作平行四边形 OACB. |a|＝|b|，即|OA|＝|OB|，∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB，这时OC＝a＋b，BA＝a－b.而|a|＝|b|＝|a－b|，即|OA|＝|OB|＝|BA|.∴△AOB 为正三角形，则∠AOB＝60°，于是∠AOC＝30°，即 a 与 a＋b 的夹角为.【答案】B6．△ABC 是底边边长为 2 的等腰直角三角形，P 是以直角顶点 C 为圆心，半径为 1 的圆上任意一点，若 m≤AP·BP≤n，则 n－m 的最小值为( )A．4B．2C．2 D．4【解析】如图所示，建立直角坐标系，则：A(－，0)，B(，0)，P(cos θ，＋sin θ)，由平面向量的性质可得：AP＝(cos θ＋，sin θ＋)，BP＝(cos θ－，sin θ＋)，由平面向量的数量积：AP·BP＝cos2θ－2＋sin2θ＋2sin θ＋2＝1＋2sin θ，据此有：mmax＝1－2，nmin＝1＋2，(n－m)min＝4....
